西安市第一中学

2012-2013学年度第二学期期中

高三年级数学（文科）试题

第1卷 选择题 （共50分） 命题人： 安红

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.
为虚数单位，则
＝（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

2．已知
，则
=（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

3．若
，
是两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）充要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

4.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( )

(A)
　(B)

(C)
(D)

5．已知
是抛物线
的焦点，
、
是该抛物线上的两点，
，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）

（A）．
（ B）． 1 （C）．
　（D）．．

6．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若α∥β，l?α，m?β则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )

(A) p或q （B）p且q (C)非p或q (D) p且非q

7．数列
的通项公式为
，当该数列的前
项和
达到最小时，
等于( )

(A)
（B）
(C)
(D)

8.函数
在区间
上至少取得
个最大值，则正整数
的最小值是（ ）

(A)
（B）
(C)
(D)

9．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝(　)

（A）． （B）． 

（C）． （D）．

10.如图，已知圆
：
，四边形
为圆
的内接正方形，
、
分别为边
、
的中点，当正方形
绕圆心
转动时，
的取值范围是( )

(A)
(B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题:（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.）

11．在区间
上随机取一个数
，则
的概率为 ．

12．下面程序框图，输出的结果是________．

13.已知函数
若
，则实数
＝ .

14.我校计划招聘男教师
名,女教师
名,
和
须满足约束条件
则我校招聘的教师人数最多是 名.

15．（考生注意：只能从A，B，C中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，若多做，则按所做的第一题评阅给分.）

A（不等式选做题）不等式
的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图，⊙O的直径
=6cm，
是

延长线上的一点，过点
作⊙O的切线，切点为
，

连结
，若
，则
= .

C.（坐标系与参数方程选做题）已知直线
（
为参数）相交于
、
两点，则|
|= .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）袋中装着分别标有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球.

（1）从袋中任取2个小球，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；

（2）从袋中有放回的取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，求点
满足
的概率．

． 17.（本题满分12分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

18.（本题满分12分）如图，
、
是单位圆上的动点，
是单位圆与
轴的正半轴的交点，且
，记
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）若
，试求
的最大值以及此时
的值.

（Ⅱ）当
点坐标为
时，求
的值.

19. （本题满分12分）已知公差不为零的等差数列
的前
项和
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前
项和
.

20.（本小题满分13分）

如图，椭圆
的顶点为
，焦点为
，
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n 为过原点的直线，
是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，
.是否存在上述直线
使
成立？若存在，求出直线
的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

21、(本小题满分14分)

已知函数
，
，

（Ⅰ）若曲线
与曲线
相交，且在交点处有相同的切线，求
的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数
,当
存在最小值时，求其最小值
的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的
，证明：当
时，
.

数学(文科)参考答案

一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C

C

A

C

 C

B



二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）

11.
12.  13. 2 14.

15. A.
B.
C. 6

.

三、解答题（本题共5小题, 每题12分,共60分）

16. 解： (1)任取2次，基本事件有：

[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [2,3] [2,4] [2,5] [3,4] [3,5] [4,5]

记“两数之和为3的倍数”为事件A，则事件A中含有：

[1,2] [1,5] [2,4] [4,5]共4个基本事件，

所以
；

(2) 有放回的取出2个，基本事件有：

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

记“点
满足
”为事件
，则
包含：

(1,1) (1,2) （1，3）(2,1) (2,2) (3,1) (3,2)共7个基本事件

所以
．

17．（Ⅰ）证明：平面

平面
，
,

平面

平面
，

平面
，

∵AF在平面
内，∴
， ……………　3分

又
为圆
的直径，∴
，

∴
平面
. ………………………… 6分

（Ⅱ）解：由（1）知
即
，

∴三棱锥
的高是
，

∴
,………　8分

连结
、
，可知

∴
为正三角形，∴正
的高是
，………10分

∴
，……12分

18. 【解】（Ⅰ）
………………………………2分

则

，…………4分

，故
时，
…………………6分

（Ⅱ）依题

由余弦定理得：

……12分

19. 解(Ⅰ) 由已知得：

因为
所以

所以
，所以

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分

(Ⅱ)

(ⅰ) 当
为奇数时

(ⅱ) 当
为偶数时

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12分

20解 : (Ⅰ)由
知a2+b2=7, ①

由
知a=2c, ②

又b2=a2-c2 ③

由 ①，②，③解得a2=4,b2=3,

故椭圆C的方程为

(Ⅱ) 设A,B两点的坐标分别为

假设使
成立的直线l存在，

(i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为
,

由l与n垂直相交于P点且
得

,即m2=k2+1

由
得x1x2+y1y2=0

将y=kx+m代入椭圆方程,得

(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,

由求根公式可得x1+x2=


x1+x2=


将④，⑤代入上式并化简得

⑥

将
代入⑥并化简得
，矛盾.

即此时直线
不存在.

（ii）当
垂直于
轴时，满足
的直线
的方程为
，

则A,B两点的坐标为
或

当
时，

当
时，

∴ 此时直线
也不存在.

综上可知，使
成立的直线
不存在.

21解： （Ⅰ）
=

,
=
(x>0),

由已知得
解得a=
，x=e2,

∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为k=f’(e2)=

∴切线的方程为 y－e=(x－e2)

(II)由条件知h(x)=–aln x(x＞0),

（i）当a>0时，令
解得
，

∴ 当0 <
<
时，
，
在（0，
）上递减；

当x>
时，
，
在
上递增.

∴
是
在
上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是
的最小值点.

∴ 最小值

（ii）当
时，

在（0，+∞）上递增，无最小值。

故
的最小值
的解析式为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

则
，令
解得
.

当
时，
，∴