西安市第一中学

2012-2013学年度第二学期期中

高三年级数学（理科）试题 命题人：白恒兴

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设全集为
,则右图中阴影表示的集合

为（ ）

A.
B．
C．
D．

2．复数满足
，则复数
的实部与虚部之差为（ ）

A．
B．
C．
D．

3 .函数
的零点所在的一个区间是（　）

A.
　　　B.
　　C.
　　D.

4. 已知圆O:
，直线
过点
,且与直线OP垂直，则直线
的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5．为了得到函数
的图像，只需将函数
的图像（ ）

A.向左平移
个长度单位 B. 向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D. 向右平移
个长度单位

6．若
是空间三条不同的直线，
是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不

正确的是( )

A．当
时，若
，则

B．当
时，若
，则

C．当
且
是
在
内的射影时，若
，则

D．当
且
时，若
，则

7．已知
，下列四个条件中，使“
”成立的必要而不充分的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
满足
，则
的最小值为（ ）

A.6 B.8 C.12 D.15

9. 已知
，
，若对任意
，

都存在
，使
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
, 则
( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，

得到不合格的成绩的频率为0.4，则合格的人数是 ．

12. 阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间

内，则输入的实数
的取值范围是___________.

13. 一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm），则

此几何体的体积是__________㎝3.

14．下列四种说法中，

①命题“存在
”的否定是“对于任意
”；

②命题“
且
为真” 是“
或
为真”的必要不充分条件；

③已知幂函数
的图象经过点
，则
的值等于

④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超

过3分钟的概率是
. 说法正确的序号是 .

15．选做题：

A.对任意
，
恒成立，则
满足________.

B.在极坐标系中，点
到直线
：

的距离是_______.

C.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，

PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD＝________.

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

在
中，角
的对边分别是
，点
在直线

上.

（1）求角
的值；

（2）若
，求
的面积.

17. （本题满分12分）

已知数列
的首项为
，其前
项和为
，且对任意正整数
有：
、
、
成

等差数列．

（1）求证：数列
成等比数列；

（2）求数列
的通项公式．

18. （本题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，

点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有
；

(3)当
为何值时,
与平面
所成角的大小为45°.

19. （本题满分12分）

已知
.

（1）求
极值；

（2）

20. （本题满分13分）

一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.

评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或着打错得0分”. 某考生已确定

有5道题的答案是正确的，其余题中，有一道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可

以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.

（1）求出该考生得40分的概率;

（2）写出该考生所得分数X的分布列，并求出X数学期望.

21. （本题满分14分）

如图，已知抛物线
的焦点为
，过焦点
且不平行于
轴的动

直线
交抛物线于
，
两点，抛物线在
、
两点处的切线交于点
.

（Ⅰ）求证：
，
，
三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线
交该抛物线于
，
两点，求四边形
面积的最小值．

高三第二学期期中考试数学（理）参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

D

B

B

A

B

A

B





二、填空题（每小题5分，共25分）

11．600 12.
13.
14.③④ 15A.
B.
C.

三、解答题（共75分）

16.（本题满分12分）

解：⑴因点
在直线
上，

所以
，……………..2分

由正弦定理，得
，即
，……..4分

由余弦定理，得
，……………6分

又
，所以
………………8分

⑵
………………12分

17．（本题满分12分）

解：⑴因对任意
有
成等差数列，所以
……2分

又当
时，
，所以
，………4分

即
，又
，

所以
成以4为首项、2为公比的等比数列……………6分

⑵由⑴得
，所以

当
时，

又
满足此式，所以
……………………12分

（或把
代入
得通项
也可）

18.（本题满分12分）

解：⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为
的中位线，

故EF//PC，又因
面PAC，
面PAC，所以EF//面PAC……4分

⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，

又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而
面PAB，所以
，

又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PB
CB=B，所以AF⊥面PBC.

而PE
面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有
………8分

⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为x\y\z轴建立坐标系，设
，

则
，
，
，设面PDE的法向量为
，

由
，得
，取
，又
，

则由
，得
，解得
.

故当
时，PA与面PDE成
角……………12分

（前2问也可以用空间向量解答）

19.（本题满分12分）

解：（1）
，……2分

由单调性即得
极大值为

极小值为
……………………6分

（2）
，即
，

…………………12分

20.（本题满分13分）

解：⑴其余3道题中，各题答对的概率分别为
，
，
.

故得40分的概率为
………6分

⑵X的取值为25、30、35、40…………………8分

，

，

,

. 分布列（略）

………13分

21.（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知，得
，显然直线
的斜

率存在且不为0，则可设直线
的方程为

（
），
，
，

由
消去
，得
，

.
，
…2分

由
，得
，所以
，直线
的斜率为
，

所以，直线
的方程为
，又
，

所以，直线
的方程为
①………………4分

同理，直线
的方程为
②………………5分

②-①并据
得点M的横坐标
，

即
，
，
三点的横坐标成等差数列.………………………………7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）(
).

所以
，则直线MF的方程为
………………8分

设C(x3,y3),D(x4,y4), 由
消去
，得
，

，
. …………………………9分

又

.…………………………….10分

. …………………12分

因为
，所以
，

所以，
，

当且仅当
时，四边形
面积的取到最小值
.…………14分