湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试

数学（文科）

考试时间：2013年5月17日下午15：00-17:00 满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列复数在复平面内对应的点不在圆
上的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题
的否定
是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以

被输出的函数是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知
,
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
的图象在点
处的切线L与直线
平行，若数列
的前n项和为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．等差数列
的公差为
，且
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知命题
是
的充要条件，命题
，则 ( )A.
为真 B.
为真 C.
真
假 D.
均为假

8．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长

与圆的直径均为2，则该几何体的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

9．由不等式组
围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于
的函数
，则（ ）

A．
B．
C．
D．
符号不确定

10．已知抛物线
的准线为l，点Q在圆C：
上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则
的最小值为（ ）

A．3 B．2 C．4 D．5

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.

11．已知集合
，则
▲ .

12．若双曲线
的离心率是
，则实数
的值是 ▲ .

13．设函数
，若函数
为偶函

数，则实数
的值为 ▲ ．

14．函数

在
上的部分图象如图所示，则
的

值为 ▲ ．

15．在平行四边形
中，
和
分别是边
和
的中点，
，其中
▲ ．

16．已知函数
满足：①定义域为R；②
，有
；③当
时，
．记
.根据以上信息，可以得：（1）
▲ ； （2）函数
的零点个数为 ▲

17．图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)，……，则：（1）第
个图形的边长
▲ ；（2）第
个图形的面积
▲ ；

三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）某驾校在报名者中随机抽取10人，检查得到他们的视力状况的茎叶图（如图）（小数点前一位为茎，小数点后一位为叶），若视力不低于4.8，则称该报名者“视力过关”. 图中数据的平均数为4.82，

（Ⅰ）求茎叶图中的数字
和这组数据的中位数；

（Ⅱ）若共有500人报名，据此估计报名者中“视力过关”的人数。

4 x 8 5 6 2 8

5 2 1 1 0

19．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，

.

（Ⅰ）求
； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值.

20．（本小题满分13分）已知直三棱柱
中，
，
为
中点，
为
中点，侧面
为正方形。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）设
，若
，

求这个三棱柱体积的最大值。

21．（本小题满分14分）椭圆
的左,右焦点分别为
,
,左,右顶点分别为
.过
且垂直于
轴的直线与椭圆
的一个交点为

.

求椭圆
的标准方程;

动直线

与椭圆
交于
,
两点, 直线
与
交于点
.当直线
变化时, 点
是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.

22．（本小题满分14分）已知函数
．

（Ⅰ）求证：函数
在区间
上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应
的近似值（误差不超过
）；（参考数据
，
，
）

（Ⅱ）当
时，若关于
的不等式
恒成立，试求实数
的取值范围.

湖北省重点高中2013届五月模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

D

B

B

C

A

B

C

A



二、填空题

11.
12.
13.
14.
15.

16.（1）
；（2）
17. （1）
；（2）

三.解答题

18．解（Ⅰ）

， …… 3分

又均值为4.82
，
中位数为4.85 …… 8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得样本中“视力过关”的概率为
，所以在新学员中 ……10分

约有
人“视力过关” ……………… 12分

19．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，

.

（1）求
；（2）求△ABC面积的最大值.

解（Ⅰ）

， 则

……………………5分

（Ⅱ）

，则
，
…… 8分

所以△ABC面积
……10分

又因为由（Ⅰ）得
，故

当且仅当
时，面积
取得最大值
……12分

20．解（Ⅰ）
直三棱柱
中，侧面垂直于底面，又
，
为
中点，故

所以
,所以
…………… 2分

为正方形，又
为
中点，
为
中点，

所以
…………… 4分

,所以
…………… 6分

（Ⅱ）

…………… 8分

令

则
，令
，得
或
（舍去） …… 10分

因为
时，
，
时，

所以
在
递增，在
递减，故
，此时

所以当
时，
取最大值
………… 13分

21． 解（Ⅰ）
,
. 点
在椭圆上, ………2分

,

或
(舍去).
.

椭圆
的方程为
. ………5分

（Ⅱ）当
轴时,
,
, 又
,

,
, 联立解得
.

当过椭圆的上顶点时,
,
,

,
,联立解得
.

若定直线存在,则方程应是
. ………8分

下面给予证明.

把
代入椭圆方程,整理得,

成立, 记
,
,则
,
.

,
………11分

当
时,纵坐标
应相等,
, 须

须
, 须
而
成立.

综上,定直线方程为
…………14分

22．解：（Ⅰ）
， ………………………………………………1分

∵
，
，

∴
． ……………………………………………………………3分

令
，则
， ……………………4分

∴
在区间
上单调递增，

∴
在区间
上存在唯一零点，

∴
在区间
上存在唯一的极小值点． ……………………………6分

取区间
作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

，而
，∴ 极值点所在区间是
；

又
，∴ 极值点所在区间是
；

∵
，∴ 区间
内任意一点即为所求． ……9分

（Ⅱ）由
，得
，

∵
， ∴
，　　　……………………………………10分

令
，则
， …………………12分

∵
， ∴
， ∴
在
上单调递增，

∴
，

∴
的取值范围是
．　　…………………………………………14分