苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）

2013.5

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上；

已知是虚数单位，复数
对应的点在第＿＿＿象限。

设全集
，集合
，集合
，则
＿＿＿。

已知数列
的通项公式为
，则数据
，
，
，
，
的方差为＿＿＿。

“
”是“
”的＿＿＿条件。（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。

若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于
，则此双曲线方程为＿＿＿。

根据右图所示的流程图，输出的结果
为。

在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为＿＿＿。

在不等式组
，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为＿＿＿。

在矩形
中，对角线
与相邻两边所成的角为
，
，则有
。类比到空间中的一个正确命题是：在长方体
中，对角线
与相邻三个面所成的角为
，
，
，则有＿＿＿。

已知圆
：
与直线
相交于
、
两点，若
，则实数
＿＿＿。

分别在曲线
与直线
上各取一点
与
，则
的最小值为＿＿＿。

已知向量
，
满足
，
，且对一切实数
，
恒成立，则
与
的夹角大小为＿＿＿。

已知
，
均为正数，
，且满足
，
，则
的值为＿＿＿。

已知
为正的常数，若不等式
对一切非负实数
恒成立，则
的最大值为＿＿＿。

二、解答题：本大题共6个小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

（本小题满分14分）

如图，
中，
，角
的平分线
交
于点
，设
，
；

求
和
；

若
，求
的长；

（本小题满分14分）

已知四棱锥
的底面
是边长为2的正方形，侧面
是等边三角形，侧面
是以
为斜边的直角三角形，
为
的中点，
为
的中点。

求证：
//平面
；

求证：
平面
；

求三棱锥
的体积；

（本小题满分14分）

已知等差数列
的公差
不为0，且
，
。

求数列
的通项公式；

设数列
的前
项和为
，求满足
的所有正整数
的集合；

（本小题满分16分）

如图，设
，
分别是椭圆
：
的右顶点和上顶点，过原点
作直线交线段
于点
（异于点
，
），交椭圆于
，
两点（点
在第一象限内），
与
的面积分别为
与
。

若
是线段
的中点，直线
的方程为
，求椭圆
的离心率；

当点
在线段
上运动时，求
的最大值；

（本小题满分16分）

如图所示，有两条道路
与
，
，现要铺设三条下水管道
，
，
（其中
，
分别在
，
上），若下水管道的总长度为
。设
，
。

求
关于
的函数表达式，并指出
的取值范围；

已知点
处有一个污水总管的接口，点
到
的距离
为
，到点
的距离
为
，问下水管道
能否经过污水总管的接口点
？若能，求出
的值，若不能，请说明理由；

（本小题满分16分）

已知
为正的常数，函数
；

若
，求函数
的单调增区间；

设
，求函数
在区间
上的最小值；

附加题

（选做题）在
，
，
，
四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分，解答时应先写出文字说明、证明过程或演算步骤。

选修4-1：几何证明选讲

如图，
为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点
，
，
的平分线分别交
，
于点
，
，求证：
。

选修4-2：矩阵与变换

已知
，
，
在矩阵
对应变换的作用下，得到对应点分别为
，
，
，求矩阵
；

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），直线的极坐标方程为
，直线与曲线
交于
，
两点，求
的长；

选修4-5：不等式选讲

已知常数
满足
，解关于
的不等式：
；

（必做题）第22题、第23题，每题10分，共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（本小题满分10分）。

已知抛物线
：
和抛物线
：
在交点处的两条切线互相垂直，求实数
的值；

（本小题满分10分）

已知数列
满足
，
。

求
，
，猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明；

设
，
，比较
与
的大小；