徐州、宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学Ⅰ

参考公式：样本数据
的方差
，其中
；

锥体的体积公式：
，其中
为锥体的底面面积，
是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 已知
是虚数单位，若
，则
的值为 ▲ ．

2. 某射击选手连续射击
枪命中的环数分别为：
,
,
,
,
，

则这组数据的方差为 ▲ ．

3. 右图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

4. 若集合
，
，则
▲ ．

5. 方程
表示双曲线的充要条件是
▲ ．

6．在
中，已知
，
，则
的值是 ▲ ．

7. 已知实数
满足
则
的最小值是 ▲ ．

8. 已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则数列
的前20项和为 ▲ ．

9. 已知三棱锥
的所有棱长都相等，现沿
，
，
三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为
，则三棱锥
的体积为 ▲ ．

10．已知
为
的外心，若
，则
等于 ▲ ．

11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字
或
中的一个数字，则连续输出的
个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ．

12. 若
，且
，则
的最小值为 ▲ ．

13．已知函数
若
，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

14. 已知曲线
：
，直线
：
，在曲线
上有一个动点
，过点
分别作直线
和
轴的垂线，垂足分别为
.再过点
作曲线
的切线，分别与直线
和
轴相交于点
，
是坐标原点.若
的面积为
，则
的面积为 ▲ ．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，
，
均为圆
的直径，
圆
所在的平面，
.求证：

⑴平面
平面
；

⑵直线
平面
．

16．已知
的面积为
，角
的对边分别为
，
．

⑴求
的值；

⑵若
成等差数列，求
的值．

17．已知一块半径为
的残缺的半圆形材料
，O为半圆的圆心，
，残缺部分位于过点
的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以
为斜边；如图乙，直角顶点
在线段
上，且另一个顶点
在
上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

18．如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，
分别是椭圆
的左、右两个顶点，圆
的半径为
，过点
作圆
的切线，切点为
，在
轴的上方交椭圆
于点
．

⑴求直线
的方程；

⑵求
的值；

⑶设
为常数．过点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆
于点
，分别交圆
于点
，记
和
的面积分别为
，
，求
的最大值．

19．已知数列
满足：
，
，
．

⑴若
，求数列
的通项公式；

⑵设
，数列
的前
项和为
，证明：
．

20．已知函数
，
．

⑴若函数
在其定义域内是单调增函数，求
的取值范围；

⑵设函数
的图象被点
分成的两部分为
（点
除外），该函数图象在点
处的切线为
，且
分别完全位于直线
的两侧，试求所有满足条件的
的值．

宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆
，圆
都经过点
，
是圆
的切线，圆
交
于点
，连结
并延长交圆
于点
，连结
.求证
.

B．选修4-2：矩阵与变换

已知
，若矩阵
所对应的变换把直线
：
变换为自身，求
.

C．选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线
被圆
截得的弦长为
，求
的值.

D．选修4-5：不等式选讲

已知
，且
，求
的最小值．

22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在正三棱柱
中，已知
，
，
分别是棱
，
上的点，且
，
.

⑴求异面直线
与
所成角的余弦值；

⑵求二面角
的正弦值.

23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数
,
．

⑴当
时，求函数
的极大值和极小值；

⑵是否存在等差数列
，使得
对一切
都成立？并说明理由．

宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学参考答案与评分标准

一、填空题

1.
； 2.
； 3.
； 4.
； 5.
； 6.
； 7.1；

8.55； 9.
； 10.
； 11.
； 12.
； 13.
； 14.

二、解答题

15.⑴因为
圆
所在的平面，
圆
所在的平面，

所以
，………………………………………………………………………………2分

因为
为圆
的直径，点
在圆
上，所以
， ……………………………3分

因为
，
平面
，

所以
平面
，………………………………………………………………………5分

因为
平面
，所以平面
平面
．…………………………………7分

⑵由⑴
，又因为
为圆
的直径，

所以
，

因为
在同一平面内，所以
，…………………………………………9分

因为
平面
，
平面
，所以
平面
．………………………11分

因为
，同理可证
平面
，

因为
，
平面
，

所以平面
平面
，

因为
平面
，所以
平面
．……………………………………………14分

16.⑴由
，得
，即
．……………2分

代入
，化简整理得，
．……………………………………4分

由
，知
，所以
．………………………………………6分

⑵由
及正弦定理，得
，

即
，………………………………………………………………8分

所以
．①

由
及
，得
，……………………………………………10分

代入①，整理得
．

代入
，整理得
，……………………………12分

解得
或
．

因为
，所以
．…………………………………………………………14分

17．如图甲，设
，

则
，
， ………………………………………………2分

所以
………………………………………………………………………4分

，

当且仅当
时取等号， …………………………………………………6分

此时点