绵阳市高中2010级第三次诊断性考试

数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷 上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U=R,集合A＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则
等于

A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1}

C. {-1} D. {x|-1

2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：
.则下 列命题为真命题的是

A
B

C
D

3. 已知曲线
的渐近线方程为
，则该曲线的离心率为

A
B
C
D

4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是

A (0,
) B (
,
)

C (
, 1) D (1,2)

5. 函数f(x)=
x-sinx的大致图象可能是

6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD内的概率为

A
B
C
D

7.如图所示，在ΔABC中,D为BC的中点，BP丄DA,垂足为P,且BP=2,则
=

A. 2 B. 4

C. 8 D. 16

8. 已知E为不等式组
，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、 D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为

A.
B.
C.
D. 12

9. 如果正整数M的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有

A. 45个 B. 41个 C. 40个 D. 38个

10. 已知函数f1(x)=x2-2|x|，f2(x)=x+2,设；
,若 a，b∈[-2, 4],且当x1,x2
时，
恒成立，则b-a的最大值为

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 若复数z满足z.i=1+2i(i为虚数单位)，则复数z=________

12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.

13. 已知
，则sinxcosx的值是______

14. 已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若
，则k=______

15. 若数列{an}满足：对任意的n
N*，只有有限个正整数m使得am

①数列{
}*的“星数列”的前100之和为5050;

②(a5)*=2;

③数列
的前n2项和为2n2-3n+1;

④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为
＝n2

以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）

三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小題满分12分）

绵阳某汽车销售店以8万元A辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.

(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？

(II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.

若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.

17. (本小题满分12分）

如图，已知平面PAB丄平面ABCD，且四边形ABCD是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF.

(I)证明：平面PAD丄平面PAB

(II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.

18. (本小题满分12分）

函数
的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移
个单位后得到函数y=f(x)的 图象.

(I )求函数y=g(x)的解析式；

(II )在ΔABC中,它的三个内角满足
，且其外接圆半径R=2,求ΔABC的面积的最大值.

19. (本小题满分12分）

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8.

(I)求公差d的值;

(II )若a1=1，设Tn是数列
的前n项和,求使不等式
对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；

(III)设bn=
/若对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，求a1的取值范围.

20. (本小题满分13分）

已知椭圆C:
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线
相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P, Q两点，如果
(O为坐标原点)，且满足
，求实数t的取值范围.

21. (本小题满分14分）

已知函数.
的定义域为(0,+
) (e是自然对数的底数).

(I)求函数y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值;

(II)若x>1时，函数y=f(x)的图象总在函数
的图象的上方，求 实数t的取值范围；

(III)求证：

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数学(理)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．

BDACA BCDBC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．2-i 12．11 13．
14．
15．②④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．

则由题意得年销售量为100-2x，

∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．

故当x=15时，y取最大值．

此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．

∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分

（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．

∴ P(X=0)=
；

P(X=0．5)=
；

P(X=1)=
．

∴ X的分布列为：

X

0

0．5

1



P











∴ X的数学期望E(X)=
×0+
×0．5+
×1=
．

∴ X的数学期望为
．………………………………………………………12分

17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，

∵ △PAB为等边三角形，

∴ PO⊥AB．①

又平面PAB⊥平面ABCD，

∴ PO⊥平面ABCD，

∴ PO⊥AD．

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AD⊥AB．②

∵ AB与PO交于点O，

由①②得：AD⊥平面PAB，

∴ 平面PAD⊥平面PAB． ……………………………………………………6分

（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，

∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，
)，D(-1，3，0)．

∴
=(2，-2，0)，
=(1，0，
)，
=(0，3，0)，

可求得平面ADP的法向量n=(
，0，-1)，

若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则

sinθ=|cos|=
，

又由图形可知，θ为锐角，

∴cosθ=
．

∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为
． …………………………12分

18．解：（Ⅰ）由图知：
，解得ω=2．

∵
，

∴
，即
．

由
，得
．

∴
．

∴
，

即函数y=g(x)的解析式为g(x)=
． ………………………………6分

（Ⅱ）∵ 2sin2
=
，

∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+
)，

∵ cos(A+B)=-cosC，sin(2C+
)=cos2C，

于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，

解得cosC=
或1（舍），

∴ C=
．

由正弦定理得：
=2R=4，解得c=2
，

于是由余弦定理得：cosC=
=
，

∴ a2+b2=12-ab≥2ab，

∴ ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．

∴ S△ABC=
absinC=
ab≤
．

∴ △ABC的面积的最大值为
． ………………………………………12分

19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，

∴
=
．

∴ Tn=

=

=
≥
，

又∵ 不等式Tn≥
对所有的n∈N*恒成立，

∴
≥
，

化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．

∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分

（Ⅲ）由d=2，得 an=a1+2n-2，

又∵
=1+
=
，

又函数
在
和
上分别是单调减函数，

且
时y<1；
时y>1．

∵ 对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，

∴ 3<
<4，

解得-6

20．解：（Ⅰ）由题可得：e=
．

∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
=0相切，

∴
=b，解得b=1．

再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．

∴ 椭圆的标准方程为
．……………………………………………5分

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，
=-4
[
，
]，不成立；

∵ 直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，

直线的方程可设为：x=my+1，

代入椭圆方程
得：(m2+4)y2+2my-3=0

∴ y1+y2=
，y1y2=
，

而x1x2=(my1+1)(my2+1)=
，

∴
=x1x2+y1y2=
，

即
≤
≤
，解得
≤m2≤1；

∵
；
；

又∵
，

∴

，

∴ 当
≤m2≤1时，解得
≤t≤
．…………………………………13分

21．解：（Ⅰ）∵
=
，

∴ 当2x-1>0，即x>
时，
>0，于是f?(x)在
上单调递增；

∴ 当2x-1<0，即x<
时，
<0，于是?(x)在
上单调递减．

∵ m>0，∴ m+2>2．

①m≤
≤m+2，即0

f?(x)在(m，
)上单减，在(
，m+2)上单增，∴f?(x)min=f?(
)=2e；

②当m>
时，f?(x)在[m，m+2]上单调递增，∴f?(x)min=f?(m)=
；

∴ 综上所述：当0
时，f?(x)min=
．

……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）构造F(x)=f?(x)-g(x)(x>1)，

则由题意得F(x)=
(x>1)，

=
=
(x>1)，

①当t≤e2时，e2x-t≥0成立，则x>1时，
≥0，

即F(x)在
上单增，

∴ F(1)=e2-2t≥0，即t≤
，故t≤
．

②当t>e2时 ，
=0得x=
或
lnt．

∴ F(x)在(1，
lnt)上单减，在(
lnt，+
)上单增，

∴ F(x)min=F(
lnt)=-2tln(
lnt)-t<0．∴不成立．

∴ 综上所述：t≤
．………………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0时，
≥2e，

∴
≤
(x>0)，

∴
≤
．

∴

≤

<

=

=

<
．………………………………………………………………14分