成都外国语学校高2013届四月月考试题

数学试题(理科)

命题人：全 鑫， 审题人：黎 梅

一、选择题

1.若
，则
=（ D ）

A.
B.
C. 1 D.

2．若设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（ C ）

　　　A.若
则
　　　B.若
则

　　　C.若
则
　　　　D.若
则

3．已知
是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递减数列”的（D ）

A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

4．函数
的图象是（ B ）

A. B. C. D.

5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ B ）

(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种

6.已知函数
，
，则
经过怎样的变换得到
（ C ）

A. 先向左平移1个单位，再向上平移5个单位；

B. 先向左平移1个单位，再向上平移7个单位；

C. 先向右平移1个单位，再向下平移7个单位；

D. 先向右平移1个单位，再向下平移5个单位；

7．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为( B )

A．
B．
C．
D．

8. 若实数
，b，c满足
，则下列关系中不可能成立的（ A ）

A．
B．
C．
D．

9.经过椭圆
的右焦点任作弦
，过
作椭圆右准线的垂线
，垂足为
，则直线
必经过（　B　）

?? A．?
????B．
??? C．
???? D．

10.对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现作为条件,则函数
对称中心和若函数
，则
的值分别为（ A ）

A.
2012 B.
2013 C.
2012 D.
2013

二、填空题：

11．二项式
的展开式中常数项是 ___7_____

12. 下图给出了一个程序框图,其作用是输入
的值,输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等,则这样的
值有___3_____个.

13.将函数
的图象绕坐标原点顺时针方向旋转
角，得到曲线C，若对于每个旋转角
，曲线C都是一个函数的图象，则
的最大值是___
____.

14. 设变量
满足不等式组
　，则
的最小值为_____
_.

15.设
是实数，定义
是为不大于
的最大整数，如：
，
.

记函数
，函数
给出下列命题：

①函数
在
上有最小值，无最大值；②
且
为偶函数；

③ 若
的解集为
，则集合
的所有元素之和为
；

④设
，则当
为偶数时，
；当
为奇数时，

请你写出所有真命题的序号为__①_③_④___。

三、解答题

16.（本题满分12分）

某品牌专卖店准备将在2013年“五一期间”举行促销活动，根据市场调查，该店决定从
种不同型号的洗衣机，
种不同型号的电视机和
种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出
种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高
元，同时，若顾客购买该商品，则允许有
次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得
元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量
.

（Ⅰ）求选出的
种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；

（Ⅱ）请写出
的分布列，并求
的数学期望；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额
的分布列为：

0





















……………9分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是

． ………………10分

17. （本题满分12分）

设
，
满足
，

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
三内角
所对边分别为
且
，求
在
上的值域．

又由正弦定理知：

即
,所以

当
时，
，

故
在
上的值域为
……………12分

18．（本题满分12分）

如图，在
中，
，
，点
在
上，
交
于
，
交
于
．沿
将
翻折成
，使平面
平面
；沿
将
翻折成
，使平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
．

（Ⅱ）设
，当
为何值时，二面角
的大小为
？

18.解：（Ⅰ）因为
，
平面
，所以
平面
．

因为平面
平面
，且
，所以
平面
．

同理，
平面
，所以
，从而
平面
． 所以平面
平面
，从而
平面
．

（Ⅱ）以C为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，过C且垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图．

则
，
，

，
．

，

，

．

平面
的一个法向量
，

平面
的一个法向量
．

由
，

化简得
，解得
．

19.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列
前
项和为
,且
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)已知公比为
的等比数列
满足
，且存在
满足
,
,求数列
的通项公式.

19.解析：(1)
，

两式相减得：
，………………………………（2分）

即

，…………………………（4分）

为首项为1，公差为2的等差数列，故
………………（6分）

(2)
，依题意得
，相除得
（8分）

，代入上式得q=3或q=7，……………………………（10分）

或
.…………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分13分）

如图，椭圆
的左焦点为
，过点
的直线交椭圆于
，
两点．当直线
经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为
．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设线段
的中点为
，
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点．记△
的面积为
，△
（
为原点）的面积为
，求
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，当直线
经过椭圆的顶点
时，其倾斜角为
． …1分

设
，

则
． …………2分

将
代入
，

解得
． ………3分

所以椭圆的离心率为
． ………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为
． …………5分

设
，
．

依题意，直线
不能与
轴垂直，故设直线
的方程为
，将其代入
，整理得
． …7分

则
，
，
． ………………8分

因为
，

所以
，
． ………………9分

因为
∽
，

所以
………11分

． …………12分

所以
的取值范围是
． ………………13分

21.（本小题满