陕西师大附中高2013届第六次模拟数学（文科）试题

一、选择题（本大题共
道小题，每道小题
分，共
分）

1．设全集
则
是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知复数的实部为
，虚部为2，则
=（ ）

（A）
　　　（B）
　　（C）
　　（D）

3.已知三条直线
，
，
，若
关于
的对称直线与
垂直，则实数的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．下列有关命题的说法正确的是（ ）

（A）命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

（B）“
”是“
”的必要不充分条件．

（C）命题“存在
使得
”的否定是：“对任意
均有
”．

（D）命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（ ）

6．函数
的一部分图象如图所示，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7.已知
，
,若
为满足
的一随机整数，则
是直角三角形的概率为（ ）

（A）
　　（B）
　（C）
　 （D）

8.设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点,且和轴交于点,若
（
为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9.在如右程序框图中，若
，则输出的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

10.设第一象限内的点
的坐标满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）4

二、填空题（本大题共
道小题，每道小题
分，共
分）

11.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 .

12.观察下列各式：则
…，则
的末两位数字为 .

13.设等差数列
的前项和为
,若
,则
.

14.设函数
, 若
，则实数的取值范围是 .

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题)若实数
满足
，则
的最大值为 .

B.(几何证明选做题)如图,已知
的两条直角边
的长分别为
,以
为直径的圆与
交于点,则
.

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆
的参数方程为
，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
，则直线
与圆
的交点的直角坐标为 .

三、解答题（本大题共
道小题，共
分）

16. （本小题
分）

已知
的前项和为
，且
.

(Ⅰ)求证：数列
是等比数列；

(Ⅱ)是否存在正整数
，使
成立.

17.（本小题
分）

已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
,且
,求
的值.

18.（本小题
分）

在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
⊥平面
，
，
、
分别为
、
的中点．

（Ⅰ）证明：
⊥
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

19.（本小题
分）

一个袋中装有大小相同的
个球，现将这
个球分别编号为
．

（Ⅰ）从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；

（Ⅱ）若在袋中再放入其他
个相同的球，测量球的弹性，经检测这
个的球的弹性得分如下：
, 把这
个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过
的概率．

20．（本小题
分）

已知离心率
的椭圆
的一个焦点为
，点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过原点
的直线
与曲线
交于
两点．求
面积的最大值．

21.（本小题
分）

已知
.

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数的取值范围；

陕西师大附中高2013届第六次模拟数学（文科）答案

一、选择题（
分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

D

B

D

A

C

B

C



二、填空题（
分）

11.
12.
　　　　13.
　 14.
.

15. A.
　　　B.
　　　C.

三、解答题（
分）

16.（本小题满分12分）

【解析】(Ⅰ)由题意，
，
，

由两式相减，得
，

即
，
. ………………3分

又
，∴
.

∴数列
是以首项
，公比为
的等比数列. ………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
. ………………8分

又由
，得
，整理得
. …………10分

∵
，故不存在这样的
，使
成立.………………10分

17. （本小题满分12分）

【解析】∵

，………2分

由
得
，∴
. ………4分

（Ⅰ）由
得
，

∴当
时，
.………6分

（Ⅱ）由
及
，得
，

而
, 所以
，解得
.………8分

在
中，∵
,
，

∴
， ………………10分

∴
，解得
.

∵
，∴
. ………………12分

18. （本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）证明：如图，取
中点
，连结
，
．

∵
，∴
．……………2分

又∵
是正三角形， ∴
．

∵
，

∴
⊥平面
． ………4分

又∵
平面
，∴
⊥
．………6分

（Ⅱ）∵
是
的中点，

∴
． ……………8分

∵平面
⊥平面
，
，∴
平面
．

又∵
，
，∴
，即点
到平面
的距离为1．

∵
是
的中点，∴点
到平面
的距离为
．………………10分

∴
．………………12分

19.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件,

共包含20个基本事件； 4分

其中
，包含6个基本事件．

则
． 8分

（Ⅱ）样本平均数为

, 11分

设B表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．”，则包含6个基本事件，所以
．

20. （本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）∵
，∴
.………………2分

∴
.

故椭圆
的方程为
.………………4分

（Ⅱ）若直线
存在斜率，设其方程为
与椭圆
的交点
。

将
代入椭圆
的方程
并整理得
。

∴
． ………………6分

∴

.………………8分

又点到直线
的距离
，

∴
，……………10分

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
．

若直线
的斜率不存在，则
即为椭圆的短轴，∴
，∴
.

综上，
的面积的最大值为
．………………13分

21. （本小题满分14分）

【解析】（Ⅰ）
.

当
单调递减，当
单调递增 ……2分

，即
时，
；………………4分

,即
时,
在
上单调递增,
．…6分

所以
. ……………………………………8分

（Ⅱ）
，则
，

设
，则
，………………10分

①
单调递减，

②
单调递增， ………………12分

所以
，对一切
恒成立，

所以
. ………………14分