陕西师大附中高2013届第六次模拟数学（理科）试题

一、选择题（本大题共
道小题，每道小题
分，共
分）

1.已知复数的实部为
，虚部为2，则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设全集
则
是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3.已知三条直线
，
，
，若
关于
的对称直线与
垂直，则实数的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．下列有关命题的说法正确的是（ ）

（A）命题 “若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

（B）“
”是“
”的必要不充分条件．

（C）命题“存在
使得
”的否定是：“对任意
均有
”．

（D）命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（ ）

6．函数
的一部分图象如图所示，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7.已知
，
,若
为满足
的一随机整数，则
是直角三角形的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8.在如右程序框图中，若
，则输出的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

9.双曲线
的一个焦点为
，顶点为
，是双曲线上任意一点，则分别以线段
为直径的两圆一定（ ）

（A）相交 （B）相切

（C）相离 　（D）以上情况都有可能

10.设
为坐标原点，第一象限内的点
的坐标满足约束条件
，
，若
的最大值为
，则
的最小值为（ ）

（A）
（B）
（C）1 （D）4

二、填空题（本大题共
道小题，每道小题
分，共
分）

11.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 .

12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点
，且法向量为
的直线（点法式）方程为
，化简得
. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点
且法向量为
的平面(点法式)方程为

(请写出化简后的结果).

13.设函数
, 若
，则实数的取值范围是 .

14.已知数列
满足
则
的最小值为__________.

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题)若实数
满足
，则
的最大值为 .

B.(几何证明选做题)如图,已知
的两条直角边
的长分别为
,以
为直径的圆与
交于点,则
.

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆
的参数方程为
，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
，则直线
与圆
的交点的直角坐标为 .

三、解答题（本大题共
道小题，满分
分）

16.（本小题
分）

已知
的前项和为
，且
.

(Ⅰ)求证：数列
是等比数列；

(Ⅱ)是否存在正整数
，使
成立.

17.（本小题
分）已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
,且
,求
的值.

18.（本小题
分）如图，已知直角梯形
所在的平面垂直于平面
，
，
，
．

（Ⅰ）在直线
上是否存在一点，使得
平面
？请证明你的结论；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

19.（本小题
分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到
三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

（Ⅰ）求甲、乙两人都被分到社区的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

（Ⅲ）设随机变量
为四名同学中到社区的人数，求
的分布列和
的值．

20.（本小题
分）已知平面内的一个动点到直线
的距离与到定点
的距离之比为
，点
，设动点的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）过原点
的直线
与曲线
交于
两点．求
面积的最大值．

21.（本小题
分）已知
.

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

陕西师大附中高2013届第六次模拟数学（理科）答案

一、选择题（
分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

D

D

B

D

B

C

B

A



二、填空题（
分）

11. 36 . 12.
.

13.
. 14. 21 .

15. A.
. B.
. C.
.

三、解答题（
分）

16.（本小题满分12分）

【解析】(Ⅰ)由题意，
，
，

由两式相减，得
，

即
，
， ………………3分

又
，∴
，

∴数列
是以首项
，公比为
的等比数列.…………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
. ………………8分

又由
，得
，

整理得
，即
， ………………10分

∵
，∴
，这与
相矛盾，

故不存在这样的
，使不等式成立. ………………12分

17. （本小题满分12分）

【解析】∵

，………2分

由
得
，∴
. ………4分

（Ⅰ）由
得
，

∴当
时，
.………6分

（Ⅱ）由
及
，得
，

而
, 所以
，解得
.………8分

在
中，∵
,
，

∴
， ………………10分

∴
，解得
.

∵
，∴
. ………………12分

18. （本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）线段
的中点就是满足条件的点．………………2分

证明如下：

取
的中点连结
，则

，
，

取
的中点
，连结
，

∵
且
，

∴△
是正三角形，∴
．

∴四边形
为矩形，

∴
．………………4分

又∵
，

∴
且
，四边形
是平行四边形．

∴
，而
平面
，
平面
，∴
平面
．……6分

（Ⅱ）（法1）过作
的平行线
，过
作
的垂线交
于
，连结
，∵
，∴
，

是平面
与平面
所成二面角的棱．……8分

∵平面
平面
，
，∴
平面
，

又∵
平面
，
∴
平面
，∴
，

∴
是所求二面角的平面角．………………10分

设
，则
，
，

∴
，

∴
． ………12分

（法2）∵
，平面
平面
，

∴以点为原点，直线
为轴，直线
为轴，建立空间直角坐标系
，则轴在平面
内（如图）．设
，由已知，得
，
，
．

∴
，
，…………………8分

设平面
的法向量为
，

则
且
，

∴
∴

解之得

取
，得平面
的一个法向量为
. ………10分

又∵平面
的一个法向量为
． ……10分

．………12分

19.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时到社区为事件
，那么
，

即甲、乙两人同时到社区的概率是
． ………………2分

（Ⅱ）记甲、乙两人在同一社区为事件，那么
，……………4分

所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
． ……………6分

（Ⅲ）随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有个同学到社区，

则
．………………8分

所以
，………………10分
















的分布列是：

∴
．………………12分

20. （本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）设动点到直线
的距离为
，则
，根据圆锥曲线的统一定义，点的轨迹为椭圆. ………………2分

∵
，∴
，∴
.

故椭圆
的方程为
. ………………4分

（Ⅱ）若直线
存在斜率，设其方程为
与椭圆
的交点
.

将
代入椭圆
的方程
并整理得
.

∴
． ………………6分

∴

. ………………8分

又点到直线
的距离
，

∴
，……………10分

当
时，
； ②当
时，
；

③当
时，
．

若直线
的斜率不存在，则
即为椭圆的短轴，∴
，∴
。

综上，
的面积的最大值为
． ………………13分

21. （本小题满分14分）

【解析】（Ⅰ）
.

当
单调递减，当
单调递增 ……2分

，即
时，
；………………4分

②
，即
时，
在
上单调递增，
．

所以
. ……………………………………6分

（Ⅱ）
，则
，

设
，则
，………………8分

①
单调递减，②
单调递增，

所以
，对一切
恒成立，

所以
. ………………10分

（Ⅲ）问题等价于证明
，

由（Ⅰ）可知
的最小值是
，当且仅当
时取到.…12分

设
，则
，易知

，当且仅当
时取到，

从而对一切
，都有
成立. ………………14分