陕西师大附中高2013届第四次模拟考试

数学试题（文科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.为虚数单位，则
＝（ ）

(A)
(B) (C)
(D)

2．已知
，则
=（ ）

(A) (B) (C) (D)

3．若，
是两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）充要条件

（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

4.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( )

(A) 　(B)

(C)
(D)

5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：

广告费用(万元)

4

2

3

5



销售额(万元)

49

26

39

54



根据上表可得回归方程
中的
为
，据此模型预报广告费用为万元时销售额为( )

(A)
万元 (B)
万元

(C)
万元 (D)
万元

6．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若α∥β，l?α，m?β则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )

(A) p或q （B）p且q

(C)非p或q (D) p且非q

7．数列
的通项公式为
，当该数列的前项和
达到最小时，等于( )

(A)
（B）
(C)
(D)

8.函数
在区间
上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（ ）

(A)
（B） (C) (D)

9.已知函数
，
，当
时，
取得最小值
，则函数
的图象为（ ）

10.如图，已知圆
：
，四边形
为圆
的内接正方形，、分别为边
、
的中点，当正方形
绕圆心
转动时，
的取值范围是( )

(A)
(B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.

11．在区间
上随机取一个数，则
的概率为 ．

12．下面程序框图，输出的结果是________．

13.方程
表示曲线
，给出以下命题：

①曲线
不可能为圆；

②若
，则曲线
为椭圆；

③若曲线
为双曲线，则
或
；

④若曲线
为焦点在轴上的椭圆，则
.

其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．

14.我校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件
则我校招聘的教师人数最多是 名.

15.本题A、B、C三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

A.（不等式选讲）不等式
的解集是 .

B.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆
的圆心
到直线
的距离为 .

C．（几何证明选讲）圆
是
的外接圆，过点
的圆

的切线与
的延长线交于点，
，

，则
的长为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）某地三所高中校、、
联合组织一项活动，用分层抽样方法从三所学校的相关人员 中，抽取若干人组成领导小组，有关数据如下表(单位：人)

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）若从、
两校抽取的人中选人任领导小组组长，求这二人都来自学校
的概率.

17.（本题满分12分）如图，
为圆的直径，点、在圆上，矩形
所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

18.（本题满分12分）如图，、是单位圆上的动点，
是单位圆与轴的正半轴的交点，且
，记
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）若
，试求
的最大值以及此时
的值.

（Ⅱ）当点坐标为
时，求
的值.

19.（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列
的前
项和
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前项和
.

20．(本题满分14分)已知函数
，

（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）在区间
内至少存在一个实数，使得
成立，求实数的取值范围．

21.(本题满分13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点
.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足

，求
的取值范围.

数学(文科)参考答案

一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

B

C

A

C

 B

B



二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）

11.
12.  13. ③④ 14.

15. A.
B.
C.

三、解答题（本题共5小题, 每题12分,共60分）

16. 解：（Ⅰ）∵分层抽样

∴18∶x=36∶2 x=1 ………………………2分

54∶y=36∶2 y=3 ……………………… 4分

（Ⅱ）设从B校抽取的2人为B1、B2，从C校抽取的3人为C1、C2、C3，从这5个人中选2人任组长的选法共有：（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3）10种.而两人都来自C校的有（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3）3种. ………………………10分

∴所求概率为
. ………………………12分

17．（Ⅰ）证明：平面
平面
，
,

平面

平面
，

平面
，

∵AF在平面
内，∴
， ……………　3分

又
为圆的直径，∴
，

∴
平面
. ………………………… 6分

（Ⅱ）解：由（1）知
即
，

∴三棱锥
的高是
，

∴
,………　8分

连结
、
，可知

∴
为正三角形，∴正
的高是
，………10分

∴
，……12分

18. 【解】（Ⅰ）
………………………………2分

则

，…………4分

，故
时，
…………………6分

（Ⅱ）依题

由余弦定理得：

……12分

19. 解(Ⅰ) 由已知得：

因为
所以

所以
，所以

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分

(Ⅱ)

(ⅰ) 当为奇数时

(ⅱ) 当为偶数时

所以
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12分

20． 解：（I）当
时，
，
， …………………2分

曲线
在点
处的切线斜率

，

所以曲线
在点
处的切线方程为
． …………6分

（II）解1：

当
，即
时，
，
在
上为增函数，

故

，所以

，
，这与
矛盾………8分

当
，即
时，

若
，
；

若
，
，

所以
时，
取最小值，

因此有

，即

，解得
，这与

矛盾； ………………12分

当
即
时，
，
在
上为减函数，所以

，所以
，解得
，这符合
．

综上所述，的取值范围为
． ………………14分

解2：有已知得：
， ………………8分

设
，
， ……………10分

，
，所以
在
上是减函数． ……………12分

，

故的取值范围为
…………………………………………14分

21. 解(Ⅰ) 设抛物线方程为
，

由已知得：
所以

所以抛物线的标准方程为
┈┈┈┈┈4分

(Ⅱ) 因为直线与圆相切，

所以
┈┈┈┈┈ 6分

把直线方程代入抛物线方程并整理得：

由

得
或
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分

设
，

则

由

得
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 10分

因为点
在抛物线
上，

所以，

因为
或
，

所以
或

所以
的取值范围为
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 13分