陕师大附中高2013届第四次模拟考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U＝{
，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(?UA)∪B为（ ）

A．{1，2，4} B．{2，3，4}

C．{
，2，4} D．{
，2，3，4}

2．如果复数z＝，则（ ）

A．|z|＝2 B．z的实部为1 C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i

3．已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为( )

A．
B．
C．
D．

4．已知
的展开式的各项系数和为32，则展开式中
的系数为（　　）

A．5 B．40 C．20 D．10

5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为

A．7 B． 9 C． 10 D．15

6．把函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是

7．在区间
内随机取两个数分别记为
，则使得函数
有零点的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

9．已知实数
成等比数列，且函数
时取到极大值，则
等于（ ）

A． B．
C．
D．

10．定义在上的函数
是减函数，且函数
的图象关于原点成中心对称，若，满足不等式
．则当
时，
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.

11．已知等差数列
的前项和为
,则数列
的前100项和为 .

12．已知函数
满足：当x≥4时，
＝
；当x＜4时
＝
，则
＝______.

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

14．已知
，
，如果
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是 .

15. （考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题评分.）

A．（不等式选做题）若不存在实数使
成立，则实数的取值集合是__________．

B． (几何证明选做题) )如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．

C. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线
：
（t为参数）与圆C2：
（
为参数）的位置关系不可能是________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本题满分12分)

已知
的三个内角、、
的对边分别为、
、，且
．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ)若
，求
周长的最大值．

17．(本题满分12分)

已知函数
．

（Ⅰ）设函数
的图像的顶点的纵坐标构成数列
，求证：
为等差数列；

（Ⅱ）设函数
的图像的顶点到轴的距离构成数列
，求
的前项和
．

18．(本题满分12分)

如图，四棱锥
的底面
为一直角梯形，其中
，
底面
，是
的中点．

(Ⅰ)求证：
//平面
；

(Ⅱ)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．

19. (本题满分12分)

某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：

付款方式

分1期

分2期

分3期

分4期

分5期



频数

40

20



10





 已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润。

(Ⅰ)求上表中
的值;

(Ⅱ)若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3期付款”的概率
;

（Ⅲ）求Y的分布列及数学期望EY．

20. (本题满分13分)

如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求的取值范围.

数学四模（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

D

D

A

A

B

D

C

D



二、填空题:

11．
12.
13.
14.

15. A.
B.
C. 相离.

三、解答题：

16．解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，∴A=，

∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA=……………6分

(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得

b+c=sinB+sinC

=sinB+sin(-B)

=2sinB+2cosB=4sin(B+)，

可知周长的最大值为6 ． ……………12分

17．解：（Ⅰ）∵
，

∴
， ---------2分

∴
，

∴数列
为等差数列． ---------4分

（Ⅱ）由题意知，
， ---------6分

∴当
时，
，

----8分

当
时，
，

．---------10分

∴
．　 ---------12分

18. 设
，建立空间坐标系，使得

，
,

，
.…………2分

(Ⅰ)
，
，

所以
，

平面
，
平面
. ………5分

(Ⅱ)
平面
，
，即

，
，即
.

平面
和平面
中，

，

所以平面
的一个法向量为
；平面
的一个法向量为
；

，所以平面
与平面
夹角的余弦值为
． ……12分

19.解：(Ⅰ)



……………………4分

(Ⅱ)记分期付款的期数为，则：
，
，

，故所求概率
…………8分

（Ⅲ）Y可能取值为1，1.5，2（万元）

，

Y的分布列为：

Y

1

1.5

2



P

0.4

0.4

0.2



Y的数学期望
（万元）………………………12分

20.【解析】(Ⅰ) 设F2(c，0)，则

＝
，

所以c＝1．

因为离心率e＝
，所以a＝
．

所以椭圆C的方程为
． ………5分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－
，此时P(
，0)、Q(
,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－
，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由
得

(x1＋x2)＋2(y1＋y2)
＝0，

则

－1＋4mk＝0，

故

k＝
．

此时，直线PQ斜率为
，PQ的直线方程为

．

即
．

联立
消去y，整理得

．

所以

，
．

于是

(x1－1)(x2－1)＋y1y2

．

令t＝1＋32m2，1＜t＜29，则

．

又1＜t＜29，所以

．

综上，
的取值范围为[
，
）．……13分

21．解：

. ---------2分

（Ⅰ）
，解得
. ---------3分

（Ⅱ）

. ---------5分

①当
时，
，
，

在区间
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
，

单调递减区间是
. ---------6分

②当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，

单调递减区间是
. --------7分

③当
时，
， 故
的单调递增区间是
. ---------8分

④当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
. ---------9分

（Ⅲ）由已知，在
上有
.---------10分

由已知，
，由（Ⅱ）可知，

①当
时，
在
上单调递增，

故
，

所以，
，解得
，

故
. ---------11分

②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
.

由
可知
，
，
，

所以，
，
， ---------13分

综上所述，
. ---------14分