数学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．复数z=
的虚部是( )

A． B．
C．1 D．

2．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”；

B．“
”是“
”的必要不充分条件；

C．命题“存在
使得
”的否定是：“对任意
均有
”；

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

3．如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
满足
，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．1 D．

6．直线
与曲线
相切，则b的值为（ ）

A．-2 B． 1 C．
D．-1

7．已知双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．2 C．
D．3

8．函数
在
上的最小值是（ ）

A． B．
C．
D．

9．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）

10．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是
，构造数列
，使得
，记
,则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11．
= ；

12．对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：


根据上述分解规律，对任意自然数n,当
时，有 ；

13．
展开式中的常数项是32，则实数
；

14．按如下图所示的程序框图运算，若输出
，则输入的取值范围

是 ．

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
．点P在曲线C上，则点P到直线
的距离的最小值为 ．

B．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知
的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为 ；

C．（选修4—5 不等式选讲） 若对于任意实数x不等式
恒成立，则实数的取值范围是： ；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）已知向量
，
，

．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）在
中，角A，B，C的对边分别是
若
，b=1，
的面积为
，求的值．

17．（本小题满分12分）已知等差数列
的公差d 0,且
是方程
的两个根．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和为
．

18．（本小题满分12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
,
,

，

（Ⅰ）若
为PA中点，求证:
∥平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的大小。

19．（本小题满分12分）一个袋中装有8个大小质地相 同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．

20．（本小题满分13分）已知椭圆C：
右焦点F的坐标是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（Ⅰ)求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过椭圆右焦点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点
，且
，求
的值．

21．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求的值与函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求的取值范围．

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

D

A

D

B

A

C

C





二、填空题:

11．
； 12．
； 13．-2； 14．
；

15．A．5； B．
； C．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

【解】：

（Ⅰ）
．

所以最小正周期T=，对称轴方程为
……… (6分)

（Ⅱ）依题意
即
,由于
,所以

A=
……………………(9分)

又∵
且b=1，∴
得c=2，在
中，由余弦定理得
,所以
…………………………(12分)

17. （本小题满分12分）

【解】：（Ⅰ）依题意
，
…………………………（6分）

（Ⅱ）
……………………（12分）

18．（本小题满分12分）

【解】：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，在
中，∵M,N分别为两腰PA,PC的中点，

∴
‖
,又∵
,∴
‖平面
；…………（6分）

（Ⅱ）平面
与
所成锐二面角的大小为
…………（12分）

19.（本小题满分12分）

【解】：（Ⅰ）X
，1,2,3,4

其概率分布分别为：
，
，
，

，
．其分布列为

X

0

1

2

3

4



P













（Ⅱ）
．……………………（12分）

20.（本小题满分13分）

【解】：（Ⅰ）由题意
,椭圆方程为
……………（6分）

（Ⅱ）设A
B
,直线方程为：
由

得
所以

，* ……………（10分）

得
，
代入*得

………………（13分）

21．（本小题满分14分）

【解】（Ⅰ）
，由
得
，…（4分）

得其单调递增区间为
单调递减区间为
.

（Ⅱ）若要命题成立，只须当
时，
，由
可知 当
时
,所以只须
……（10分）

对
来说，
，

当
时，

当
时，显然小于0，满足题意，当
时，可令
求导可知该函数在
时单调递减，
，满足题意，所以
满足题意，

当
时，
在
上单调递增，

得

综上所述，满足题意的
……（14分）