南充市高2013届第三次高考适应性考试

数学试卷(理科)

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题栏内）

1.复数
的虚部为( )

A.
B.
C.
D.

2.若集合
，集合
，则“
”是“
”的（ ）

A． 充分必要条件 B．必要不充分条件

C． 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 如右图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的体积是

A．
　　　　　 B．

C．
D．

4.在
中,角
的对边分别为
，若
，则角
的值为

A．
或
B．
或
C．
D．

5.下列命题中正确的是 （ ）

A.命题“若
”的逆命题是“若
”

B. 对命题

C.若实数
则满足：
的概率是

D.如果平面

平面
，过
内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

6右图是函数
的图像，则（ ）

m,n是奇数且

m是奇数,n是偶数且

m是偶数,n是奇数且

m是偶数,n是奇数且

7. 已知A,B两组各有8名学生，现对学生的数学成绩进行分析，A组中有3人及格，B组中有4人及格，从每组的8名学生中各抽取一人，已知有人及格，则B组同学不及格的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点
是两曲线的交点，且
轴，则双曲线的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.
的外接圆的圆心为
，半径为
，
且
，则向量
在
上的投影为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.定义在R上的函数
满足：①
是偶函数；②
是奇函数，且当
时，
，则方程
在区间
内的所有实根之和为（　） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28

二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，满分25分；请将答案填在第Ⅱ卷相应的答题栏处）

11. 在
的展开式中，
的系数等于 ．(用数字作答)

12. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值
为_____________

13．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，则
的最小值是

14. P点在椭圆
上运动,Q，R分别在两圆
和

上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为

15. 设
为两组实数，
是
的任一排列，我们称
为两组实数的乱序和，
为反序和，
为顺序和。根据排序原理有：
即：反序和≤乱序和≤顺序和。给出下列命题：

①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；

②若
其中
都是正数，则A≤B；

③设正实数
的任一排列为
则
的最小值为3；

④已知正实数
满足

为定值,则

的最小值为
.

其中所有正确命题的序号为 .

三．解答题（本大题共6个小题，满分75分；解答题应写出必要的解答过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）已知函数
的图象过
，且
内角A、B、C所对应边分别为
，若

（Ⅰ）求
的值及
的单调递增区间（Ⅱ）求
的面积。

17.（本小题满分12分）

在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为
的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．

（1）求证：A1A⊥BC；

（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的余弦值；

18（本小题满分12分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

（II）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.

19（本小题满分12分）．在直角坐标平面上有点
对一切正整数n，点
在函数
的图象上，且
的横坐标构成以
为首项，－1为公差的等差数列
．

（Ⅰ）求点
的坐标；

（Ⅱ）对于二次函数列C1，C2，C3，…，Cn，…，其中二次函数 Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，
）.记与二次函数Cn 图象相切于点Dn的直线的斜率为kn，令
，求数列
的前n项和
．

20.（本小题满分13分）已知椭圆
长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若P在椭圆上，
分别为椭圆的左右焦点，且满足
，求实数
的范围；

（Ⅲ）过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直）与椭圆交于M,N两点，与y轴交于点R，若

，求证：
为定值.

21. （本小题满分14分）已知函数
（
为实数）（Ⅰ）当
=1时，求函数
在x∈[4，+∞）上的最小值；（Ⅱ）若方程
（其中e=2.71828…）在区间
上有解，求实数
的取值范围；（Ⅲ）证明：
，n∈N*．（参考数据：ln2≈0.6931）

南充市高2013届第三次高考适应性考试

理科数学答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

D

A

C

D

B

A

C

B





二、填空题（每小题5分，共25分）

11.
12.
13.
14.6 15.①③

三. 解答题：本大题共6个小题.共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

…………2分

…………4分

…………6分

的单调递减增区间为

…………7分

（Ⅱ）

…………10分

则

的面积为
…………12分

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连结AO，

A1O⊥面ABC，
是
在面ABC的射影

∵ AO⊥BC

∴ A1A⊥BC． …………5分

（Ⅱ）解法一：

由（1）得∠A1AO=45°

由底面是边长为2
的正三角形，可知AO=3

∴A1O=3，AA1=3

过O作OE⊥AC于E，连结A1E，

则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角 …………9分

∵OE=
，∴tan∠A1EO=

即二面角A1—AC—B的余弦值为
． …………12分

解法二：

如图，以O为坐标原点，以OA,OB,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系,则O(0，0，0),A(3，0，0),
(0，0，3),C(0，
，0)

可得

设平面
的法向量为
，则

故

令

故
是平面
的一个法向量 ………9分

…………10分

所以

由图可知所求二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
…………12分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
.

根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人。

所以选中的“甲部门”人选有
人，“乙部门”人选有
人. ……………3 分

用事件A表示“至少有一名”甲部门“人选被选中”，则它的对立事件
表示“没有一名”甲部门“人选被选中”，则
。

因此，至少有一人是“甲部门”的概率是
…………………………………………6 分

（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.……7 分

因此，X的分布列如下:

X

0

1

2

3



P











………………10 分

所以X的数学期望
……………………12 分

19. （本小题满分12分）

解:（Ⅰ），

…………4分

（Ⅱ）
的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设
的方程为
．

把
， ………………7分

∴
的方程为
………………8分

∵

①

②………………9分

.① - .②：

………………12分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知
，得
，
，

所以椭圆方程为
………………4分

（Ⅱ）设

P在椭圆
上

故所求实数
的范围为
………………8分

（Ⅲ）依题意，直线

的斜率存在，则设直线
的方程为
，

设
，则
两点坐标满足方程组
，

消去
整理得
，

所以
，① ………………10分

因为
，所以
，

即
，因为l与x轴不垂直，所以
，则
，

又
，同理可得
，

所以