专题六 复数

2013年2月

（2013闸北区期末）1．已知
，其中
是虚数单位，那么实数
．

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
且
，解得
。

（2013闵行期末）1．已知复数
满足
(
为虚数单位)，则
_________________.

【答案】

【解析】由
得
。

（2013静安区期末）15．（理）若复数
，则
是
成立的（ ）

(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件

【答案】D

【解析】若
，则
成立。若
，不妨取
，则有
成立，但
不成立，所以
是
成立的必要不充分条件，所以D.

（2013虹口期末）15、若
是关于
的实系数方程
的一根，则该方程两根模的和为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】因为
是关于
的实系数方程
的一根，所以
也是方程的根，所以
，选B.

（虹口区2013届高三一模）7、关于
的方程
（其中
是虚数单位），则方程的解
．

【答案】

【解析】由行列式得
，即
。

（黄浦区2013届高三一模 理科）2．若
(
为虚数单位)为纯虚数，则实数
的值为 　 ．　 　

【答案】2

【解析】因为
为纯虚数，所以
，解得
。

（嘉定区2013届高三一模 理科）1．若
（
为虚数单位），则
___________．

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
，所以
，即
，所以
。

（奉贤区2013届高三一模）1、关于
的方程
的一个根是
，则
_________．1．

【答案】

【解析】因为方程的根为虚根
，所以
也是方程的根，所以
，即
。

（黄浦区2013届高三一模 理科）16．若
（
，
是虚数单位），则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
的几何意义为圆
上点
到点
距离的最小值。圆心
到点
的距离为
,所以
的最小值是
，选D.

（青浦区2013届高三一模）17．已知复数
在复平面上对应点为
，则
关于直线
的对称点的复数表示是…………… …（
）．

.


　
.

.

【答案】B

【解析】如图，直线l即是线段OA的垂直平分线，P0的对称点即是(0,1)，

其对应的复数为i.选B.

（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数
的四个命题：

　　①
；　②
；　③
的共轭复数为
；　④
的虚部为
．

其中正确的命题……………… ……………………（　　）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

【答案】C

【解析】
，所以
。
的共轭复数为
，
的虚部为
，
，所以②④ 正确，选C.

（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是 ．

【答案】

【解析】由(1+2i)(1+ai)得
，因为
是纯虚数，所以
，解得
。

（崇明县2013届高三一模）1、设复数
（
为虚数单位），则
　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】由
得
。

（2013静安区期末）14．（理）在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为
、
（
为虚数单位），则当
由
连续变到
时，向量
所扫过的图形区域的面积是 .

【答案】

【解析】设
，则
(*)，由
，所以
，所以(*)表示圆心角为
，半径为1的扇形，其面积为
.

（宝山区2013届期末）1.在复数范围内，方程
的根是 ．

【答案】

【解析】因为
，所以方程的根为虚根，所以
。

（宝山区2013届期末）4.已知复数
(
)的模为
,则
的最大值是 .

【答案】

【解析】由题意知
，即
，所以对应的圆心为
，半径为
。设
，则
。当直线与圆相切时，圆心到直线
的距离为
，解得
，所以由图象可知
的最大值是
。

（长宁区2013届高三一模）6、（理）已知
，
为
的共轭复数，若
（
是虚数单位），则
．

【答案】
或

【解析】根据行列式的公式可得
,设
，则
，即
，所以
且
，解得
或
，所以
或
。

（杨浦区2013届高三一模 理科）2．若复数
(
为虚数单位) ，则
. 【答案】

【解析】因为
，则
。

（松江区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知
，且满足
．

（1）求
；

（2）若
，
，求证：

．

20．解：（1）设
，则
，
…………2分

由

得
……………………………4分

解得
或
……………………………… 5分

∴
或
……………………………… 7分

（2）当
时，

…………………… 10分

当
时，

………………………13分

∴

……………………………14分

（浦东新区2013届高三一模 理科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知复数
，
.

（1）若
为实数，求角
的值；

（2）若复数
对应的向量分别是
，存在
使等式
成立，

求实数
的取值范围.

解：（1）

，……2分

，……………………………………………………………………4分

又
，
，即
.……………………………………6分

（2）
，………………………………………………………………………8分

，………………………………………………………10分

.

得
，整理得
.……12分

因为
，所以
. 只要
即可，………………13分

解得
或
.……………………………………………14分

（嘉定区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）

设复数
，其中
，
，
为虚数单位．若
是方程
的一个根，且
在复平面内对应的点在第一象限，求
与
的值．

19．（本题满分12分）

方程
的根为
．………………（3分）

因为
在复平面内对应的点在第一象限，所以
，………………（5分）

所以
，解得
，因为
，所以
，……（8分）

所以
，所以
，故
．…………（11分）

所以
，
．…………（12分）