专题三 解析几何

2013年2月

（2013闸北区期末）11．（理）曲线
与直线
有公共点的充要条件是【 】

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】曲线方程为
，表示圆心为
，半径为3的上半圆。当直线
相切时，则有圆心到直线的距离为
，解得
，要使曲线与直线
有公共点，则有
，即
，选C.

（2013闸北区期末）7．已知点
在抛物线
上，那么点
到点
的距离与点
到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点
的坐标为　　　　．

【答案】

【解析】抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
。
，过点P做准线的垂线PE，则
，所以
,当且仅当
三点共线时，最小，此时
,所以
，即
.

（2013闸北区期末）4．设双曲线
的右顶点为
，右焦点为
．过点
且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点
，则
的面积为　　　　．

【答案】

【解析】双曲线的右顶点为
，右焦点
，双曲线的渐近线为
，过点
且与
平行的直线为
，则
，即
，由
，解得
，即
，所以
的面积为
.

（2013徐汇区期末）6．（理）若
是直线
的一个法向量，则直线
的倾斜角的大小为_________________.

(结果用反三角函数值表示)

【答案】

【解析】因为
是直线
的一个法向，所以
是直线的一个方向向量，即直线的斜率
，所以
，所以
，即直线的倾斜角为
。

（2013徐汇区期末）4．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则实数
的值是 .

【答案】8

【解析】抛物线的焦点坐标为
，在双曲线中
，所以
，所以
，即双曲线的右焦点为
，所以
。

（2013普陀区期末）16. 【理科】双曲线
（
）的焦点坐标为… ……（ ）

（A）
. （B）
.

（C）
. （D）
.

【答案】B

【解析】因为
，所以
，
，即
为
，所以双曲线的焦点在
轴上，所以
，即
，所以焦点坐标为
，选B.

（2013徐汇区期末）18．（理）对于直角坐标平面
内的点
(不是原点),
的“对偶点”
是指：满足
且在射线
上的那个点. 若
是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”
（ ）

(A) 一定共线 (B) 一定共圆

(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆

【答案】C

【解析】
若直线经过原点，此时它们的“对偶点”
也一定在直线上。若直线不过原点，
,设
在直线上的垂足为
,M的对偶点为
,则
，又
,即
,即
，所以
,所以
,所以点
位于以
为直径的圆上，同理
的对偶点
也在以
为直径的圆上，所以此时共圆，所以选C.

（2013普陀区期末）12. 【理科】 若
、
，
是椭圆
上的动点，则
的最小值为 .

【答案】1

【解析】根据椭圆的方程可知
，所以
，所以
，即
是椭圆的两个焦点。设

，即
，所以
，所以
，因为
，所以当
时，
有最小值
，即
的最小值为1.

（2013闵行期末）4．已知抛物线
的焦点与圆
的圆心重合，则
的值是 .

【答案】

【解析】抛物线的焦点坐标为
。圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
，所以由
得
。

（2013静安区期末）4．（理）设圆过双曲线
的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .

【答案】

【解析】双曲线取顶点为
，焦点为
，由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，不妨取顶点为
，焦点为
，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为
，所以它到中心（0，0）的距离为
。

（2013静安区期末）11．（理）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心
出发，先沿北偏西
方向行走13米至点
处，再沿正南方向行走14米至点
处，最后沿正东方向行走至点
处，点
、
都在圆
上．则在以圆心
为坐标原点，正东方向为
轴正方向，正北方向为
轴正方向的直角坐标系中圆
的方程为 .

【答案】

【解析】
，连结
,由题意知
，
,

.所以
，
，由余弦定理可得
，即
，所以圆的半径为
，所以所求圆的方程为
。

（2013静安区期末）12．（理）过定点
作直线
交
轴于Q点，过Q点作
交
轴于T点，延长TQ至P点，使
，则P点的轨迹方程是 .

【答案】

【解析】设
,
，由
，可知
为
的中点。则
，因为
在
轴上，所以
，即
，所以
，
。因为
，所以
，即
，所以
，即
。

（2013静安区期末）3．（理）两条直线
和
的夹角大小为 .

【答案】

【解析】直线
的斜率为
，即
，所以
，
的斜率为
，
，所以
，由
，所以设夹角为
，则
，所以
。

（青浦区2013届高三一模）11．已知
与
(
)．直线
过点
与点
，则坐标原点到直线MN的距离是 ．

【答案】1

【解析】由
与
(
)，可知，点
和
是直线
上的两个点，所以直线
的方程为
，所以原点到直线MN的距离
。

（崇明县2013届高三一模）3、过点
，且与直线
垂直的直线方程是　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】直线
的斜率为1，所以过点
，且与直线
垂直的直线的斜率为
，所以对应方程为
，即
。

（金山区2013届高三一模）9．若直线l：y=kx经过点
，则直线l的倾斜角为α = ． 9．

【答案】

【解析】因为直线过点
，所以
，即
，所以
，由
，得
。

（松江区2013届高三一模 理科）15．过点
且与直线
平行的直线方程是

A．
　　 B．
　　 　

C．
　 D．

15．D

【答案】D

【解析】设所求的平行直线方程为
，因为直线过点
，所以
，即
，所以所求直线方程为
，选D.

（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若
、
为双曲线
:
的左、右焦点，点
在双曲线
上，∠
=
，则
到
轴的距离为 ………（ ）

．

．

．

．

【答案】B

【解析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则
，又

(
，∴
(
.

（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ ）．

.



.

.

【答案】D

【解析】由题意知
，所以
，
，所以双曲线的渐近线方程为
，选D.

（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点
是曲线
上的一个动点，且点
为线段
的中点，则动点
的轨迹方程为__________________．

【答案】

【解析】设动点
，则中点
。因为
是曲线
上的一个动点，所以
，整理得
，即动点
的轨迹方程为
。

（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线

：
与抛物线
的准线交于
两点，
，则双曲线
的实轴长
等于……………………………（　　）