专题一 函数

（黄浦区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

对于函数
与常数
，若
恒成立，则称
为函数
的一个“P数对”；若
恒成立，则称
为函数
的一个“类P数对”．设函数
的定义域为
，且
．

（1）若
是
的一个“P数对”，求
；

（2）若
是
的一个“P数对”，且当
时

，求
在区间

上的最大值与最小值；

（3）若
是增函数，且
是
的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．

①
与
+2
；②
与

．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意知
恒成立，令
，

可得
，∴
是公差为1的等差数列，

故
，又
，故
． ………………………………3分

（2）当
时，
，令
，可得
，

解得
，即
时，
， ………………………4分

故
在
上的取值范围是
．

又
是
的一个“P数对”，故
恒成立，

当

时，
，

…
， …………………6分

故
为奇数时，
在
上的取值范围是
；

当
为偶数时，
在
上的取值范围是
． …………………8分

所以当
时，
在
上的最大值为
，最小值为3；

当
为不小于3的奇数时，
在
上的最大值为
，最小值为
；

当
为不小于2的偶数时，
在
上的最大值为
，最小值为
．………10分

（3）由
是
的一个“类P数对”，可知
恒成立，

即
恒成立，令

，可得
，

即
对一切
恒成立，

所以
…

，

故

． …………………………………14分

若
，则必存在
，使得
，

由
是增函数，故
，

又
，故有
．…………………………………18分

（金山区2013届高三一模）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知函数
，其中常数a > 0．

(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在
上是减函数；

(2) 求函数f(x)的最小值．

21．解：(1) 当
时，
，…………………………………………1分

任取0

因为00，即f(x1)>f(x2)………………………………………5分

所以函数f(x)在
上是减函数；………………………………………………………6分

(2)

，……………………………………………………7分

当且仅当
时等号成立，…………………………………………………………8分

当
，即
时，
的最小值为
，………………………10分

当
，即
时，
在
上单调递减，…………………………………11分

所以当
时，
取得最小值为
，………………………………………………13分

综上所述：
………………………………………14分

（浦东新区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）

设函数

（1）求函数
和
的解析式；

（2）是否存在非负实数
，使得
恒成立，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；

（3）定义
，且

① 当
时，求
的解析式；

已知下面正确的命题：当

时，都有
恒成立.

② 对于给定的正整数
，若方程
恰有
个不同的实数根，确定
的取值范围；

若将这些根从小到大排列组成数列

，求数列
所有
项的和.

解：（1）函数

函数
……4分

（2）
，
……6分

当
时，则有
恒成立.

当
时，当且仅当
时有
恒成立.

综上可知当
或
时，
恒成立；………………………8分

（3）① 当
时，对于任意的正整数
，都有

故有
…13分

② 由①可知当
时，有
，根据命题的结论可得，

当
时，有
，

故有
.

因此同理归纳得到，当

时，

……………………15分

对于给定的正整数
，

时，

解方程
得，
，

要使方程
在
上恰有
个不同的实数根，

对于任意
，必须
恒成立，

解得
, 若将这些根从小到大排列组成数列
，

由此可得

.……………………17分

故数列
所有
项的和为：

.……18分

（长宁区2013届高三一模）19、（本题满分12分）已知
，满足
．

（1）将
表示为
的函数
，并求
的最小正周期；

（2）（理）已知
分别为
的三个内角
对应的边长，若
，且
，求
的取值范围．

19、解（1）由
得
…………3分

即

所以
，其最小正周期为
． …………6分

（2）（理）因为
，则

.因为
为三角形内角，所以
…………9分

法一：由正弦定理得
，
，

，
，
，

所以
的取值范围为
…………12分

法二：
，因此
，

因为
，所以
，
，

.又
，所以
的取值范围为
…………12分

（文）（2）
,因此
的最小值为
，…………9分

由
恒成立，得
，

所以实数
的取值范围是
. ………12分

（宝山区2013届期末）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
，
.

（1）当
时，求
的定义域；

（2）若
恒成立，求
的取值范围．

解：（1）由
………………………………………………3分

解得
的定义域为
．………………………6分

（2）由
得
，即
……………………9分

令
，则
，………………………………………………12分

当
时，
恒成立．………………………………………………14分

（长宁区2013届高三一模）22． (本小题满分18分) （理）已知函数
。

（1）求函数
的定义域和值域；

（2）设
（
为实数），求
在
时的最大值
；

（3）对（2）中
，若
对
所有的实数
及
恒成立，求实数
的取值范围。

（文）已知二次函数
。

（1）函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

（2）关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（3）函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围。

22、（理）解：
由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为
…………2分

又
由
≥0 得值域为
…………4分

（2）因为

令
，则
，

∴

(
)+t=
…………6分

由题意知g(a)即为函数
的最大值。

注意到直线
是抛物线
的对称轴。…………7分

因为a<0时,函数y=m(t),
的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若
，即
则
…………8分

②若
，即
则
…………10分

③若
，即
则
…………11分

综上有

…………12分

（3）易得
， …………14分

由
对
恒成立，

即要使
恒成立，…………15分

，令
，对所有的
成立，

只需
…………17分

求出m的取值范围是
. …………18分

（文）解：（1）当
时，
，不合题意；……………1分

当
时，
在
上不可能单调递增；……………2分

当
时，图像对称轴为
，

由条件得
，得
……………4分

（2）设
， ……………5分

当
时，
， ……………7分

因为不等式
在
上恒成立，所以
在
时的最小值大于或等于2，

所以，
， ……………9分

解得
。 ……………10分

（3）
在
上是增函数，设
，则
，

，
，……………12分

因为
，所以
， ……………14分

而
， ……………16分

所以
……………18分

（崇明县2013届高三一模）22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）

设函数
.

（1）当
时，求函数
在区间
内的零点；

（2）设
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；

（3）设
，若对任意
，有
，求
的取值范围．

22、解：（1）
，令
，得
，

所以
。

（2）证明：因为
，
。所以

。所以
在
内存在零点。

，所以
在
内单调递增，所以
在
内存在唯一零点。

（3）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.

对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.

据此分类讨论如下：

①当
，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。

②当－1≤