专题四 平面向量

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）已知向量
和
满足条件：

且
.若对于任意实数
，恒有
，则在
、
、
、
这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（ ）

(A)
与
(B)
与
(C)
与
(D)
与

【答案】B

【解析】
(
(

(
，此式对任意实数
恒成立，则

=
(
(

(
(
，故选(B).

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】非零向量
与
，对于任意的

的最小值的几何意义为 .

【答案】点A到直线
的距离

【解析】设向量
与
的夹角为
，

，

所以
，所以当
时，
有最小值，此时
，所以
的最小值的几何意义为点A到直线
的距离。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】在
中，若
,
，则
.

【答案】3

【解析】因为
，
，所以
，即
，因为
，所以
，所以
。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】 如图,四边形
是正方形，延长
至
，使得
.若动点
从点
出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到
点，其中
，下列判断正确的是……… ………………………………………（ ）


（A）满足

的点
必为
的中点.

（B）满足
的点
有且只有一个.

（C）
的最大值为3.

（D）
的最小值不存在.

【答案】 C

【解析】当
时，
，此时
位于
处，所以（A）错误。当
时
，此时
位于
处, 当
时
，此时
位于
处,所以满足满足
的点
有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则
,设
,则由
得
，即
。若点
位于
上，则
，此时
，
，所以
。若点
位于
上，则
，此时
，
，所以
。若点
位于
上，则
，此时
，
，即
，所以
。若点
位于
上，则
，此时
，
，即
，所以
。

若点
位于
上，此时
，
，所以
。综上
，即

的最大值是3，最小值为0.所以选C.

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）设
是函数
（
）的图像上任意一点，过点
分别向直线
和
轴作垂线，垂足分别为
、
，则
的值是 .

【答案】

【解析】设
(x,x+
)，则
，
，

∴
.

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】(文)若向量
满足
，
与
的夹角为
，则
[答]（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】
，选B.

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】已知向量
，如果
，则实数
_______.

【答案】2

【解析】
,因为
，所以
，解得
。

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】在四边形ABCD中，
，且
·
＝0，则四边形ABCD是 （ ）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

【答案】A

【解析】由
可知四边形ABCD为平行四边形，又
·
＝0，所以
，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形，选A.

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】给定两个长度为
，且互相垂直的平面向量
和
，点
在以
为圆心、
为半径的劣弧
上运动，若
，其中
、
，则
的最大值为______．

【答案】2

【解析】设
，则由
得
，则
表示点C到定点
距离平方的最大值，由图象可知，当点C为
时，
最大，此时
。

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】已知
，
，若
，则实数
_______．

【答案】–2

【解析】因为
，所以
，解得
。

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】在
中，
，
，则
．

【答案】

【解析】由余弦定理得
,所以
.

【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】（文）边长为1的正方形
中，
为
的中点，
在线段
上运动，则
的取值范围是____________.

【答案】

【解析】将正方形放入直角坐标系中，则设
,
.则
,所以
,所以
，因为
，所以
，即
的取值范围是
。

【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】（文）若平面向量
满足
且
,则
的最大值为 .

【答案】

【解析】因为
，所以
，所以
，设
，因为

，
，所以
，因为
，所以当
时，
有最大值
，所以
的最大值为
。

【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】已知向量
，
满足：
，且
（
）．则向量
与向量
的夹角的最大值为 【 】

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由
得，
，即
，所以
，即
，因为
，所以
，所以
，
，即向量
与向量
的夹角的最大值为
，选B.

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】给出下列命题中

① 非零向量
满足
，则
的夹角为
；

②


＞0，是
的夹角为锐角的充要条件；

③ 将函数
的图象按向量
=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为
；

④ 在
中，若

，则
为等腰三角形；

以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）

【答案】①③④

【解析】①由
得，三角形为等边三角形，所以
与
的夹角为
。所以正确。②当
夹角为
时，满足
，但此时夹角不是锐角，所以错误。③函数按
平移，相当于沿着
轴向左平移1个单位，此时得到函数
的图象，所以正确。④
，即
，所以
为等腰三角形，所以正确。综上命题正确的是①③④。

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】）已知向量
=

=
,若


，则
的最小值为 ;

【答案】6

【解析】因为
，所以
，即
。所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以最小值为6.

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】若
，则
必定是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】
，所以
，所以三角形为直角三角形，选B.

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】在平面直角坐标系中，
，将向量
按逆时针旋转
后得向量
，则点
的坐标是　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】
,设
，其中
。将向量
按逆时针旋转
后得向量
，设
，则
，
，即
.

【上海市奉贤区2013届高三上学期期末文】（文）已知向量
则
的最大值为_________．

【答案】3

【解析】
，所以当
时，
有最大值
，所以
的最大值为3.

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】设
，且
，则点D的坐标是__________；

【答案】

【解析】设
,则由
得
，即
，解得
，即D的坐标是
。

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】在△ABC中，有命题:①
；②
；③若
，则△ABC是等腰三角形；④若
，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是…………………………………