杭州地区重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考

理科数学试题

考生须知：

1．本卷满分120分，考试时间100分钟；

2．答
题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题
4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ）

A．45°，1　 B．90°，不存在 C．
135°，－1 D．180°
，不存在

2. 椭圆
的焦点坐标为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是（ ▲ ）

A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α＝ D．若tan α≠1，则α≠

4．设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）

A．若
，
，则
B．若
∥
，
∥
，则

C．若
∥
，
，则
D．若
，
∥
，则

5．已知两条直线
与
互相垂直，

则
的值为（ ▲ ）

A．
B．
或

C．
或
D．
或

6．已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形.若
为底面
的中心，则
与平面
所成角的大小为（ ▲ ）

A．
. B．
C．
D．

7. 双曲线
与椭圆
的离心率互为倒数，

则（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．如右图所示，正三棱锥
中，
分别是

的中点，
为
上任意一点，则直线

与
所成的角的大小是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．随
点的变化而变化

9．设
分别为双曲线
的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P，满足
,且原点O到直线
的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

10．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）
的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD,CD,BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF,动点P的轨迹的周长为（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）

11．在空间直角坐标系中，若
两点间的距离为10，则
▲

12．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ▲

13．下列命题：①一条直线在平面上的射影一定是直线；

②在平面上的射影是直线的图形一定是直线
；

③两直线与同一个平面所成角相等，

则这两条直线互相平行；

④两条平行直线与同一个平面所成角一定相等。

其中所有真命题的序号是 ▲

14. 某几何体三视图如图所示，

则该几何体的体积为 ▲

15．已知点
在直线
上，则
的最小值为 ▲

16.如图抛物线
：
和圆
：
，倾斜角为
的直线
经过
的焦点，依次交
，
于
四点，则
的值为 ▲

17．设
，过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点
，则
的最大值是 ▲

三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18．（本题满分12分）已知方程
（
）表示双曲线。

(Ⅰ)求实数
的取值集合
；

(Ⅱ)设不等式
的解集为
，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围。

19．（本小题满分12分）已知坐标平面上一点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)，且

(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，
平面
,四边形
为平行四边形，
,
,
,垂足为E．

（Ⅰ）求证：平面

平面
；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求侧棱
的长。

21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
，当直线
的斜率为0时，
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围。

2014学年第一学期期末杭州七县市区重点中学

高二（理科）数学学科参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

D

D

B

B

A

C

A

D



二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）

11．0 12．
13． ④ 14．
15．2 16．1 17．4

三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本题满分12分）已知方程
（
）表示双曲线。

(Ⅰ)求实数
的取值集合
；

(Ⅱ)设不等式
的解集为
，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围。

解：(Ⅰ)由题意：
…………………（3分）

可得集合
…………………（6分）

(Ⅱ) 由题意：
…………………（9分）

∵
是
的充分不必要条件，∴
或

∴实数
的取值范围：
或
…………………（12分）

19（本小题满分12分
）已知坐标平面上一点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)，且

(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

解：(Ⅰ)由题意，得＝5.

，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0………………（3分）

即(x－1)2＋(y－1)2＝25. ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，

轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．…………………
（6分）

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，

∴l：x＝－2符合题意．…………………（8分）

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，

圆心到l的距
离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.

∴ 直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋4
6＝0…………………（12分）

20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，
平面
,四边形
为平行四边形，
,
,
,垂足为E．

（Ⅰ）求证：平面

平面
；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求侧棱
的长。

解：（Ⅰ）

………………………
……………（2分）

又
∥



平面

,

又

平面
,

……（4分）

又
,

平面

又
平面

平面

平面
…………………（7分）

（Ⅱ）方法一：以A为原点，以AB,AC,AP所在射线分别为

的正半轴，建立空间直角坐标系。设
，则
,
,
,

,
平面

平面
的一个法向量为
………（9分）

在
中，

，

又
,
，

可得
………（10分）

设平面
的一个法向量为

由
，得
，解得
………（1
2分）

二面角
的大小为

解得
，故侧棱
的长为
。………………………（14分）

方法二：
平面
，

又
二面角
的大小为

二面角
的大小为
………………………（10分）

平面
,

为二面角
的平面角，即

………………（12分）

,
,

在
中，
,
,

∽
,

故侧棱
的长为
。………………………………………（14分）

21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
，当直线
的斜率为0时，
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围。

解：（Ⅰ）当直线
的斜率为0时，直线
垂直于
轴，

，
，即

，且
，解得：

所以椭圆方程为
。…………………（6分）

（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条
弦的斜率不存在，

由题意可知，
；…………………（7分）

②当两条弦斜率均存在且不为0时，设
,

设直线
的方程为
，则直线
的方程为

将直线
的方程代入椭圆方程中，并整理得

…………………（9分）

，

同理，

…………………（1
1分）

令
，则

所以