盐城市时杨中学、盐城市田家炳中学

2014-2015学年高二上学期期末考试 数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共
70分.请把答案填写在答题卷的相应位置.

1．命题“
”是真命题,则实数
的取值范围是_▲_.

2. 双曲线
的渐近线的方程是_▲_.

3.已知函数
，则
_▲_.

4．将参加数学夏令营的100名学生编号为001，002，…，100，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为_▲_.

5．如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是_▲_.

6.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取两件，则两件中有一件是次品的概率_▲_.

7.已知p是椭圆
上的一点，若P到椭圆右准线的距离是
，则点P到左焦点的距离是_▲_.

8．已知实数
满足
，若
在
处取得最小值，则此时
_▲_.

9．曲线
在（0，1）处的切线方程为
，则
_▲_.

10. 若椭圆
的离心率是
，则双曲线
的离心率

是_▲_.

11．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是_▲_.

12．如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶4m时，

水面的宽6m．经过一段时间的降雨后，水面上升了1m，

此时水面宽度为_▲_m．

13．设命题
,命题

若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是_▲_.

14．已知函数
,
若对任意
，存在
，使
，则实数
取值范围是_▲_.

二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分14分）设p:“函数
在R上单调递减”；q:“曲线
与x轴交于不同的两点”,如果p且q为假命题,p或q为真命题,求
的取值范围.

16. （本小题满分14分）已知双曲线过点
，且与椭圆
有相同的焦点．

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

17. （本小题满分14分）已知不等式
的解集为A，设关于
的不等式
的解集为M .（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若
，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分16分）如图所示，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求B在
上，D在
上，且对角线
过C点，已知AB=3米，AD=2米，

（Ⅰ）要使矩形
的面积大于32平方米，则
的长应在什么范围内?

（Ⅱ）当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积；

（Ⅲ）若
的长度不少于6米，则当
的长度是多少时，矩形
的面积最小？并求出最小面积。

19．（本小题满分16分）已知点
是圆C：
与椭圆E：
的一个公共点，若
分别是椭圆的左、右焦点，点
，且直线
与圆C相切．

（Ⅰ）求
的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求
的取值范围．

20．（本小题满分16分）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求
的单调区间；（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围．

2014 /2015学年度第一学期

期末考试高二年级数学试题

命题人：沈华涛 审核人：徐岳俊

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答
题卷的相应位置.

1．命题“
”是真命
题,则实数
的取值范围是

2. 双曲线
的渐近线的方程是___
_____________

3.已知函数
，则
1 ．

4．将参加数学夏令营的100名学生编号为001，002，…，100，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为__▲8__.

5．如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是___▲_34__.

6.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取两件，则两件中有一件是次品的概率 ．

7.已知p是椭圆
上的一点，若P到椭圆右准线的距离是
，则点P到左焦点的距离是 ．

8．已知实数
满足

，若
在
处取得最小值，则此时

．

9．曲线
在（0，1）处的切线方程为
，则
．－3

10. 若椭圆
的离心率是
，则双曲线
的离心率

是____
_______

11．已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
．

12．如图，一个
抛物线型拱桥，当水面离拱顶4m时，

水面的宽6m．经过一段时间的降雨后，水面上升了1m，

此时水面宽度为 m．

13．设命题
,命题

若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
．

14．已知函数
,
若对任意
，存在
，使
，则实数
取值范围是

二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分14分）设p:“函数
在R上单调递减”；q:“曲线

与x轴交于不同的两点”,如果p且q为假命题,p或q为真命题,求
的取值范围.

15、（本小题满分14分）

解：若p真，则
…………………………………3分

若q真，则
……………………
……………7分

由p且q为假命题,p或q为真命题知p、q一真一假，则

若p真q假，则
…………………………………10分

若q真p假，则
…………………………………13分

座位号





综上可知：
的取值范围为
………14分

16. （本小题满分14分）已知双曲线过点
，且与椭圆
有相同的焦点．

（1）求双曲线的
标准方程； （2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

解：(1)由椭圆方程得焦点
……………………………3分

由条件可知，双曲线过点(3，-2)，根据双曲线定义，

即得
，所以

双曲线方程为：
，…………………………………………………8分

(2)由(1)得双曲线的右准线方程为：
∴
……………11分

从而可得抛物线的标准方程为：
………………………………14分

17. （本小题满分14分）已知不等式
的解集为A，设关于
的不等式
的解集为M，(1)求集合A； (2)若
，求实数
的取值范围．

17. （本小题满分14分）解：

18．（本小题满分16分）如图所示，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求B在
上，D在
上，且对角线
过C点，已知AB=3米，AD=2米，

(1)要使矩形
的面积大于32平方米，则
的长应在什么范围内?

(2)当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积；

(3)若
的长度不少于6米，则当
的长度是多
少时，矩形
的面积最小？并求出最小面积。

解：（1）设
米，
，则

∵
∴
∴

∴
∴

∴
∴
或
……………………5分

（2）

此时

……………………10分

（3）∵

令

，

∵
,
当
时，
∴
在
上递增

∴
此时
……………………15分

答：（1）
或
；
（2）当
的长度是4米时，矩形
的面积最小，最小面积为24平方米；（3）当
的长度是6米时，矩形
的面积最小，最小面积为27平方米。 ……………………16分

19．（本小题满分16分）已知点
是圆C：
与椭圆E：
的一个公共点，若
分别是椭圆的左、右焦点，点
，且直线
与圆C相切．

（1）求
的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求
的取值范围．

19．解：（1）点
代入圆C方程，得
．

∵m＜3，∴m＝1． …………………… 2分

圆C：
．

设
直线PF1的斜率为k，则PF1：
，即
．

∵直线PF1与圆C相切，∴
．

解得
． …………………… 4分

当
时，直线PF1与x轴的交点横坐标为
，不合题意，舍去．

当
时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．

．

2a＝AF1＋AF2＝
，
，a2＝18，b2＝2．

所以，椭圆E的方程为：
． ………………………8分

（2）
，设
，
，

． …………………… 10分

∵
，即
，

而
，∴
． …………………… 12分

则
的取值范围是
．

的取值范围是
．

∴
的取值范围是
． …………………… 16分

（注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决）

20．（本小题满分16分）已知函数
．（Ⅰ）若
，求
的单调区间；（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围．

19．解：（Ⅰ）
，其定义域是

令
，得
，
（舍去）。 3分

当
时，
，函数单调递增；

当
时，
，函数单调递减；

即函数
的单调区间为
，
。 6分

（Ⅱ）设
，则
，
8分

当
时，
，
单调递增，
不可能 10分

当
时，令
，得
，
（舍去）。

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