2014—2015学年度第一学期江苏省扬州市高二数学期末调研测试试题2015．1

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

参考公式：

样本数据
,
,
,
的方差：
，其中
为样本平

均数．

棱柱的体积
，其中为底面积，为高；棱锥的体积
，其中为底面积，为高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“若
，则
”的否命题是 ▲ .

2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，

则= ▲ .

3．取一根长度为
的绳子，拉直后在任意位置剪断，

那么剪得两段的长都不小于
的概率为 ▲ .

4．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了

该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该

组数据的方差为 ▲ .

5．如右图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .

6．若正四棱锥的底面边长为
，体积为
，

则它的侧面积为 ▲
.

7．已知抛物线
的焦点恰好是双曲线
的

右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .

8．从集合
中随机选取一个数记为，从集合
中随机选取一个数记为，则方程
表示双曲线的概率为 ▲ .

9．函数
的单调减区间为 ▲ .

10．设，是两条不同的直线，，
是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ▲ .（填写所有正确命题的序号）

①
，
，
；

②
，
，
，
，
；

③
，
，
；

④
，
，
．

11．设
，其中为正实数，若
为上的单调函数，则的取值范围为

▲ .

12．已知双曲线
的左、右焦点为
，
，其上一点满足
，则点到右准线的距离为 ▲ .

13．已知定义域为R的函数
满足
，且
的导数
，则不等式

的解集为 ▲ .

14．已知椭圆

的右焦点为
，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
的中点为M，
的中点为N，原点在以线段
为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若
，则的取值范围为 ▲ .

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

如图，斜三棱柱
中，侧面
是菱形，
与
交于点，E是AB的中点．

求证：（1）
平面
；

（2）若
，求证：
．

16．（本题满分14分）

已知命题：实数满足
；命题q：实数满足
．

（1）当
时，若“且”为真，求实数的取值范围；

（2）若“非”是“非”的必要不充分条件，求实数的取值范围．

17．（本题满分15分）

某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：
，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，
，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．

组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数占本组的比例



第1组

[18,28)

5

0.5



第2组

[28,38)

18





第3组

[38,48)

27

0.9



第4组

[48,58)



0.36



第5组

[58,68)

3

0.2





（1）分别求出，的值；

（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?

（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

18．（本题满分15分）

如图，在半径为
的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为

．

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设
，将
表示为的函数；

②设
（
），将
表示为
的函数；

（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

19．（本题满分16分）

已知椭圆C的中心在原点，左焦点为
，右准线方程为：
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C上点
到定点
的距离的最小值为1，求的值及点
的坐标；

（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为
、
，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形
的面积是否为定值，并说明理由．

20．（本题满分16分）

已知函数
在
处的切线
与直线
平行．

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）记函数
，设
是函数
的两个极值点，若
，且
恒成立，求实数
的最大值．

 扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题

高 二 数 学 参 考 答 案 2015．1

1．若
，则
2．8 3．
4．5 5．4 6．

7．
8．
9．
（区间写开闭都对） 10．② 11．

12．
13．
14．

15．证明：（1） 连结
．

∵侧面
是菱形，
与
交于点 ∴为
的中点

∵E是AB的中点 ∴
； ………………3分

∵
平面
，
平面
∴
平面

………………7分

（2）∵侧面
是菱形 ∴

∵
，
，
平面
，
平面

∴
平面
………………12分

∵
平面
∴
． ………………14分

16．解：（1）若真：
；当
时，若真：
………………3分

∵且为真 ∴
∴实数的取值范围为：
………………7分

（2）∵
是
的必要不充分条件 ∴是的充分不必要条件 ………………10分

∵若真：

∴
且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可）

∴
． ………………14分

17．解：（1）第1组人数
，所以
， ………………2分

第2组频率为：
，人数为：
，所以
， ……4分

第4组人数
，所以
， ………………6分

（2）第2,3,4组回答正确的人的比为
，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，
人，1人 ………………9分

（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为
，
，第3组的设为
，
，
，第4组的设为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：

，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
. ………………11分

其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：
，
，
，
，
，
，
，
，
． ………………13分

． ………14分

答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
． ………………15分

18．解：（1）①
，
，

，（
） ………………4分

②
，
，

，（
）………8分

（2）选用
：
，
，

令
，则
………………10分

列表得：





















单调增

极大值

单调减



 ………………13分

（不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分）

选用
：令
，

，

令
，则
………………10分

列表得：





















单调增

极大值

单调减



 ………………13分

，即
………………15分

（对
直接求导求解也得分，
）

答：圆柱形罐子的最大体积为
．

19．解：（1）设椭圆的方程为：
，

由题意得：
，解得：
， ………………2分

∴
，∴椭圆的标准方程：
； ………………4分

（2）设
，则

对称轴：
，
………………6分

①当
，即
，
时，
，

解得：
，不符合题意，舍； ………………8分

②当