广东省肇庆市2014—2015学年度上学期期末考试

高二数学理试题

本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：球的体积公式：
，球的表面积公式：
，其中R为球的半径

锥体的体积公式：
，其中
为底面积，
是高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．命题“
，
”的否定是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

2．双曲线
的离心率

A．
B．
C．
D．

3. 某四棱锥的三视图，如图1所示(单位：cm)，

则该四棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．

4．设命题p：直线
的倾斜角为135(；命题q：直角坐标平面内的三点A（-1，-3），B（1，1），C（2，2）共线. 则下列判断正确的是

A．
为假　　　 B．
为真　　　　C．
为真　 　D．
为真　

5．点P在圆
：
上，点Q在圆
：
上，则
的最大值是

A．8 B．5 C．3 D．2

6．已知直线
与平面
，则下列四个命题中假命题是

A．如果
，那么
B．如果
，那么

C．如果
，那么
D．如果
，那么

7．已知双曲线与抛物线
有公共的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的标准方程为

A．
B．
C．
D．

8．已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

9．抛物线
的焦点到它的准线的距离等于 ▲ .

10．若
，
，

三点共线，

则
= ▲ .

11．过点
且与
有相同焦点的

椭圆的方程是 ▲ .

12．过点
且与圆
相切的

切线方程是 ▲ .

13．一个空间几何体的三视图如图2所示，则该

几何体的体积等于 ▲ .

14．如图，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，

AC切⊙O于A，交ED延长线于C. 若
，

，则
▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是
.

（1）证明：A，B，C三点不共线；

（2）求过A，B的中点且与直线
平行的直线方程；

（3）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为
，求
与两坐标轴围成的三角形的面积.

16．（本小题满分13分）

如图4，在正四面体
中，
分别是棱
的中点.

（1）求证：四边形
是平行四边形；

（2）求证：
平面
；

（3）求证：
平面
.

17．（本小题满分13分）

如图5，已知点
是圆心为
半径为1的半圆弧上从点
数起的第一个三等分点，
是直径，
，
平面
，点
是
的中点.

（1）求二面角
的余弦值.

（2）求点
到平面
的距离.

18．（本小题满分14分）

已知动点M到点
的距离等于M到点
的距离的
倍.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若直线
与轨迹C没有交点，求
的取值范围；

（3）已知圆
与轨迹C相交于
两点，求
.

19．（本小题满分14分）

如图6，边长为4的正方形
中，点
分别是
上的点，将
折起，使
两点重合于
.

（1）求证：
；

（2）当
时，

求四棱锥
的体积.

20．（本小题满分14分）

设椭圆
的离心率为
，其左焦点
与抛物线
的焦点相同.

（1）求此椭圆的方程；

（2）若过此椭圆的右焦点
的直线
与曲线
只有一个交点
，则

①求直线
的方程；

②椭圆上是否存在点
，使得
，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

D

C

A

C

A

B



二、填空题

9．
10．0 11．

12．
和
（答对一个给3分） 13．384 14．2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

解：（1）∵
， （1分）

， （2分）

∴
， （3分）

∴
三点不共线. （4分）

（2）∵
的中点坐标为
， （5分）

直线
的斜率
， （6分）

所以满足条件的直线方程为
，即
为所求. （8分）

（3）∵
，∴与AB所在直线垂直的直线的斜率为
， （9分）

所以满足条件的直线
的方程为
，即
. （10分）

因为直线
在
轴上的截距分别为4和
， （11分）

所以
与两坐标轴围成的三角形的面积为
. （12分）

16．（本小题满分13分）

证明：（1）∵
分别是棱
的中点，

∴
，且
， （2分）

∴
且
， （3分）

∴四边形
是平行四边形. （4分）

（2）由（1）知，
， （5分）

且
平面
，
平面
， （7分）

∴
平面
. （8分）

（3）∵
是正四面体，

所以它的四个面是全等的等边三角形. （9分）

∵ H是BC的中点，

∴
. （11分）

又SH(平面SAH，AH(平面SAH，且
，（12分）

∴
平面
. （13分）

17．（本小题满分13分）

解 ：（1）∵
是圆心为
半径为1的半圆弧上

从点
数起的第一个三等分点，∴∠AOC=60(，

∴
是等边三角形，∴
. (1分)

∵C是圆周上的点，AB是直径，∴
，∴
(2分)

又
平面
，∴
两两垂直. 以点
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴的正向，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
， （3分）

于是，
，
，
. (4分)

设
为平面
的法向量，
为平面
的法向量，

，
，取
得
. (5分)

，
，

取
得
. (6分)

， （7分）

因此，二面角
的余弦值是
. (8分)

（2）方法一：由（1）知
（9分）

设
为平面
的法向量，则

，即
，取
得
. (10分)

设向量
和
所成的角为
，则
(12分)

设点
到平面
的距离为
，则
. (13分)

方法二：由（1）知
，

因为直线
平面
，所以，
，
，

于是，
，

.

因为
，点
是
的中点，所以