江苏省扬州中学2014—2015学年第一学期质量检测高 二 数学 2014.12.13

一、填空题（每小题5分，共70分）

1.命题“若
，则
”的否命题为 ．

2.“
”是“
”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）

3.在平面直角坐标系
中，抛物线
上纵坐标为1的一点到焦点的距离

为3，则焦点到准线的距离为 ．

4．曲线
在
处的切线方程为 ．

5．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是
，则这个正四棱柱的侧面积为 ．

6．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，一条渐近线方程为
，则双曲线方程为 　　　．

7．设
是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若
，则
；②若
，则
；

③若
；④若
，则
,其中正确的命题序号是 ．

8．函数
的单调递减区间为 ．

9．在一个直径为16cm的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm，则球的半径是 cm．

10．已知函数f(x)＝ex－ax在区间(0，1)上有极值，则实数a的取值范围是 ．

11.设命题
关于的方程
有两个不等实根，命题
方程
表示双曲线，若“或”为真命题，“且”为假命题，则实数的取值范围是 ．

12.设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有

，则不等式
的解集为 ．

13. 已知曲线：
，直线：
，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为
.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点
，是坐标原点.若
的面积为
，则
的面积为 ．

14．已知椭圆E：
，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ．

二、解答题(15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分)

15.设命题
实数满足
，其中
，命题
实数满足

．

(1)若
，且
为真，求实数的取值范围；

(2)若
是
的充分不必要条件，求实数的取值范围．

16.已知四棱锥
的底面
是边长为2的正方形，侧面
是等边三角形，侧面
是以
为斜边的直角三角形，为
的中点，
为
的中点．

（1）求证：
//平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求三棱锥
的体积．

17. 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．

(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；

(2)若该单位决定采用函数模型y＝x?2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2?0.69，ln10?2.3)

18.已知函数
．

（1）若函数
在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求的取值范围；

（2）若函数
在区间
上的最大值为4，求的值．

19．如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆：
的离心率
，
分别是椭圆的左、右两个顶点，圆
的半径为，过点
作圆
的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点
．

⑴求直线
的方程；

⑵求
的值；

⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
，分别交圆
于点
，记
和
的面积分别为
，
，求
的最大值．

20.已知函数
图像上一点
处的切线方程为

．

(1)求
的值；

(2)若方程
在区间
内有两个不等实根，求的取值范围；

(3)令
，如果
的图像与轴交于
两点，
的中点为
，求证：
.

命题、校对：高二数学备课组

高二数学质量检测答题纸 2014.12.13

填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10． 11． 12．

13． 14．

三、解答题（15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分）

15．解：

16．解：

17．解：

18．解：

19.解：

请将20题做在反面

高二数学质量检测参考答案 2014.12

1.若
，则
2.必要不充分 3.4 4.
5.72

6.
7.③④ 8.
9.
10.
11.

12.
13.4 14.4

15. (1)由
得
又
，所以

当
时，
，即为真时，实数的范围是
，

由
得
，即为真时，实数的范围是
，

若
为真，则真且真，所以实数的范围是

（2）
或
，
或
，由
是
的充分不必要条件，有

，得
．

16.(1)取SA中点N连MN，易证四边形CENM为平行四边形，
，

又
面SAE,
面SAE，
面SAE．

（2）侧面SCD是直角三角形，
为直角，E为CD中点，

，
，同理

面SAB，
面SAB．

（3）
．

17. (1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，

当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.

但当x=3时,y=<,即y?不恒成立,不满足条件②,

故该函数模型不符合该单位报销方案

(2)对于函数模型y=x?2lnx+a，设f(x)= x?2lnx+a，则f ′(x)=1?=?0.

所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，

由条件②，得x?2lnx+a?，即a?2lnx?在x?[2，10]上恒成立，

令g(x)=2lnx?，则g′(x)==，由g′(x)>0得x<4，

?g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2.

由条件③，得f(10)=10?2ln10+a?8，解得a?2ln10?2.

另一方面，由x?2lnx+a?x，得a?2lnx在x?[2，10]上恒成立,?a?2ln2,

综上所述，a的取值范围为[4ln2?2，2ln2]，

所以满足条件的整数a的值为1.

18.（1）因为
(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间
上只能是单调增函数．

由
(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．

故m的取值范围是［3，+∞) ．

（2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4,

解得m＝<3，不合题意，舍去．

当m＜3时，
(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得
．

所以f (x)的单调区间为：
单调减，
单调增，
单调减．

①当
，即
时，
，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．

②当
，即0＜m＜
时，

[f (x)] max
舍去．

③当
，即m≤0时，则
，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m＝－2.

综上所述：m＝－2．

19.⑴连结
，则
，且
，又
，所以
.

所以
，所以直线
的方程为
.

⑵由⑴知，直线
的方程为
，
的方程为
，

联立解得
.

因为
，即
，所以
，
，故椭圆的方程为
.

由
解得
，所以
．

⑶不妨设
的方程为
，

联立方程组
解得
，

所以
；用
代替上面的，得
．

同理可得，
，
．

所以
．………

因为
，

当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为
．

20.解：(1)
,
,
.

∴
,且
.解得a＝2,b＝1. .

(2)
,设
,

则
,令
,得x＝1(x＝－1舍去).

当x∈
时,
, h(x)是增函数；当x∈
时,
, h(x)是减函数.

则方程
在
内有两个不等实根的充要条件是

解得
.

(3)
,
.假设结论
成立,

则有
,①－②,得
.

∴
.由④得
,于是有
,∴
,

即
.⑤ 令
,
(0＜t＜1),则
＞0.

∴
在0＜t＜1上是增函数,有
,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

∴
.