2014~2015学年度第一学期 期末试卷

高 二 数 学(理)

第Ⅰ卷　客观卷（共36分）

一、选择题（每空3分，共36 分）

1．在△
中，“
”是“
”的（ ）

A
．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知抛物线经过点M（3，－2），则抛物线的标准方程为（ ）

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

3．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=
E为CC1的中点，则直线

AC1 与平面BED的距离为( )

A．2 B．
C．
D．1

4．过点（2，－2）与双
曲线
有公共渐近线的双曲线方程
为（ ）

A．
B．

C．
D．

5．命题：“若
，则
”的逆否命题是（ ）

A．若
，则
2，若
B． 若
，则

C．若
，或
，则
D．若
，或
，则

6． 椭圆
的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且
，
，
，则离心率
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7． 设
，
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知命题
：实数m满足
，命题
：函数
是增函数。若
为真命题，

为假命题，则实数m的取值范围为（ ）

A
．（1，2） B．（0，1）

C．[1，2] D．[0，1]

9．如图1，正方体
中，PQ是异面直线

与AC的公垂线，则直线PQ与
的位置关系为（ ）

A．平行 B．异面

C．相交 D．无法判断

10．设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则
的最大值和最小值分别为（ ）

A．1与－2 B．2与－2

C．1与－1 D．2与－1

11．设

，常数
，定义运算“*”：
，若
，则动点P（
）的轨迹是（ ）

A．圆 B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

12．设离心率为e的双曲线C：
的右焦点为F，直线
过点F且斜率为
，则直线
与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是（ ）

A．
B．

C．
D．

第II卷　主观卷（共64分）

二、填空题：(3×4=12)

13．已知定点A,B，且
=4,动点P满足
,则
的最小值为 。

14．椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，P是两曲线的一个焦点，则
等于 。

15．已知抛物线关于
轴对称
，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
。若点
到该抛物线焦点的距离为
，则
。

16．已知点P是椭圆
上任一点，那点P到直线
：
的距离的
最小值为 。

三、解答题：

17．(10分) 椭圆E：
内有一点P(2,1)，求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程．

18．(1
0分) 已知抛物线
与直线
相交于A，B两点。

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当
的面积等于
时，求
的值。

19．(10分) 直线
过点P（0，2）且与椭圆
相交于M，N两点，求
面积的最大值。

20．(10分) 如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
∥
，
，

平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（Ⅰ）
求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）若
为棱
的中点，求异面直线
与

所成角的余弦值.

21．(12分) 如图3
，四棱锥P—ABCD的底面为菱形且
，PA⊥底面ABCD，AB=2
，PA=
，E为PC的中点。

（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；

（2）求二面角E—AD—C的余弦值。

数学(理) 参考答案

一.

1—6BCDDDC 7—12 BAAADC

二. 填空题：13
14 .m-a 15.
16.

三. 解答题：

17:解:设直线与椭圆相交于
,由点差法代入椭圆方程可得所求直线 方程为x＋2y－4＝0

18.（1）证明：如图3，由方程组
，消去x后，整理得

设
，由韦达定理知：

因为A、B在抛物线
上，所以

因为
，所以OA⊥OB

（2）解：连结AB，设直线AB与x轴交于N，由题意显然

令
，则
，即

因为

所以

因为
，所以
，解得

19. 解：由题意知直线
的斜率存在，设直线
的方程为

由
，消去y得

由直线
与椭圆相交于M、N两点，所以
，解得

又由韦达定理得

所以

原点O到直线
的距离
，

令
，则

当且仅当
，即
时，

20 .解：（Ⅰ）法一：
为
的中点，

又
即

∴四边形
为平行四边形，

即

又∵平面
平面

且平面
平面

平面

又
平面
，∴平面

平面

法二：
，
，
为
的中点，∴
且
.

∴四边形
为平行四边形，∴

∵
∴
即

∵
∴

∵
，∴
⊥平面
． ∵

平面
，∴平面
⊥平面
．

（Ⅱ）∵
，
为
的中点，

∴
．

∵平面
平面
且平面
平面

∴
平面
．

如图，以
为原点建立空间直角坐标系．

则
，
，
，

，

∵
是
中点，∴

∴

设异面直线
与
所成角为

则

=

∴异面直线
与
所成角的余弦值为

法二、连接
交
于点
，连接
，则

所以
就是异面直线
与
所成角

由（1）知
平面

，所以
进而

21. 解：（1）如图4，连AC，BD交于点O，又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC，且点O是AC的中点，连结OE，又E为PC的中点，所以EO//PA。

由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD

以O为原点
，OA，OB，OE分别为

x，y，z轴建立空间直角坐标系

则有O（0，0，0），A（
），B（0，a，0），

C（
），D（
），

P（
），E（0，0，
）

依题意得
即为平面PAC的一个法向量

又
，所以

所以
直线DE与平面PAC所成角的大小为30°

（2）由PA⊥底面ABCD可知
是平面CAD的一个法向量

设
为平面EAD的一个法向量

又

由
与
得

令
，得
，所以

由图可知二面角E—AD—C为锐角，故二面角E—AD—C的余弦值为

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org