银川一中2014/2015学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(理科)

一、选择题：（每题5分）

1．若复数
满足
，则
等于

A．2+4i B．2-4i C．4-2i D．4+2i

2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数

3．若向量
＝(1,1，x)，
＝(1,2,1)，
＝(1,1,1)，满足条

件(
－
)·(2
)＝－2，则x的值为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

4．曲线
在点
处的切线的纵截距为（ ）

Ａ．-
Ｂ．-
Ｃ．
Ｄ．

5．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，M 是AC与BD的交点，若
，

则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A．
B.

C．
D．

6．如图，ABCD是边长为1的正方形，O为AD中点，抛物

线F的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为( )

A．
B．
C．
D．

7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)

A. B. C. D.

8. 如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成（ ）

A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903

9. 设
，若函数
，
，有大于零的极值点，则（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知
，
是区间
上任意两个值，
恒成立，则M的最小值是（ ）

A. -2 B. 0 C. 2 D. 4

11. 若
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知定义在R上的奇函数为f(x)，导函数为
，当
时，恒有

，令F(x)=xf(x)，则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是( )

A．(-1,2) B. (-1,
) C. (-2,
) D. (-2,1)

二、填空题：（每题5分）

13．函数
在区间
上的最小值是＿＿＿＿．

14．设平面α与向量
＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量
＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

15. 设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，

观察上述结果，可推测一般的结论为_____________________．

16．已知二次函数
的导数为
，
，对于任意实数
都有
，则
的最小值为________.

三、解答题：

17.（本小题满分10分）

已知a>0,b>0，求证：

18.（本小题满分12分）

直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，

D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

用数学归纳法证明：
.

20.（本小题满分12分）

　　在四棱锥
中，
底面
，
，

, 且
.

(1)若
是
的中点，求证：
平面
;

(2)求二面角
的余弦值．

21．(本小题满分12分)

设函数f(x)=(x2-x-
)eax (a>0，a∈R))

(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间.

(2)若不等式f(x)+
≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.

22. （本小题满分12）

已知
，其中
是自然常数，

（1）讨论
时,
的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，
；

（3）是否存在实数
，使
的最小值是
，如果存在，求出
的值；如果不存在，说明理由．

高二期末数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：（每题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

A

D

C

D

B

A

D

C

A



二、填空题：（每题5分）

13．
14．垂直 15. f(
)≥
16． 2

三、解答题：

17．法1：∵a>0,b>0

∴

∴

法2：要证：

只需证：

只需证：

只需证：

只需证：
恒成立

∴

18.．解：(1)证明：设
＝a，
＝b，
＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴
＝b＋c，
＝－c＋b－a.

∴
·
＝－c2＋b2＝0，

∴
⊥
，即CE⊥A′D.

(2)
＝－a＋c，∴|
|＝|a|，|
|＝|a|.

·
＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，

∴cos〈
，
〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

19.证明：①n=1时，左=
，右=
，等式成立

②假设n=k时，

当n=k+1时，

即：n=k+1时，等式成立，由①②知，对一切n
N+,等式成立。

20. 解：（1）如图，建立空间直角坐标系
．连接
,易知
为等边三角形，
，则

．又易知平面
的法向量

为
,

由
,得
,

所以
平面
………………………6分

(2)在
中，
,则
,由正弦定理,

得
,即
，所以
，
．

设平面
的法向量为
，

由
，

令
，则
，即
…………………10分

又平面
的法向量为
,

所以，
．

即二面角
的余弦值为
………………………13分

21..对函数求导得 f(x)=eax(ax+2)(x-1)…………….2分

(1)当a=2时，f’(x)=e2x(2x+2)(x-1), 令f’(x)>0, x>1,或x<-1………3分

所以f(x)的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）……5分

（2）令f’(x)=0, (ax+2)(x-1)=0解得x=-
或x=1,因为a>0,x∈(0,+∞)…….7分

x

(0,1)

1

（1，+∞）



f’(x)

—

0

+



f(x)

减函数

极小值

增函数



由表可知函数在x=1时取得极小值f(1)=-
ea……………………………………10分

因为不等式f(x)+
≥0,对x∈(0,+∞)恒成立，所以-
ea+
≥0,解得0

22. 解析：（1）

当
时，
，此时
为单调递减，

当
时，
，此时
为单调递增，

的极小值为
．

（2）

的极小值，即
在
的最小值为
，

令

又

， 当
时

在
上单调递减

当
时，

（3）假设存在实数
，使
有最小值
，
，

①当a≥0时，
≥0

函数
在[-e,0)上为增函数

得
(舍去)

②当
时，由于
，则

函数
是
上的增函数

解得
（舍去）

③当
时，则当
时，

此时
是减函数

当
时，
，此时
是增函数

解得

综上，存在
满足条件