资阳市2014—2015学年度高中二年级第一学期期末质量检测

理科数学

本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至8页. 全卷共150分，考试时间为120分钟.

第一部分（选择题 共50分）

注意事项：

1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1.命题“若
，则
”的否命题是

（
A）若
，则

（B）若
，则

（C）若
，则

（D）若
，则

2.水平放置的
由“斜二测画法”画得的直观图如图所示，已知
，则
边的实际长度为

（A）
（B）
（C）
（D）

3.已知向量
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

4. 某几何体的三视图如图所示，它的表面积为

（A）
（B）

（C）
（D）

[来源:学科网]

5.设
是三条不同的直线，
是三个

不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
是两条异面直线，
且
，则
；

④若
，则
；

其中正确命题的序号是

（A）①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④

6.若命题“
，使得
”为假命题，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

7.如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，
是
的中点，
，则异面直线
与
所成的角的大小为

（A）
（B）

（C）
（D）

8.执行如图所示的程序框图，在集合
中随机地取一个数值作为
输入，则输出的
值落在区间
内的概率为

（A）
（B）

（C）
（D）

9.在平面直角坐标系
中，圆
的方
程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，
为半径的圆与圆
有公共点，则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

10.如图所示，五面体
中，正
的边长为
，
平面
，且
.设
与平面
所成的角为
，若
，则当
取最大值时，平面
与平面
所成角的正切值为

（A）
（B）

（C）
（D）

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理 科 数 学

第二部分（非选择题 共100分）

题号

二[来源:Z+xx+k.Com]

三[来源:学科网ZXXK]

总分[来源:Zxxk.Com]

总分人







16

17

18

19

20

21







得分























注意事项：

1．第二部分共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案直接填在题中横线上.

11.在“2013唱响资阳”电视歌手大赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图如右图所示，则甲、乙两名选手得分的中位数之和为 .

12. 执行如图所示的程序后，输出的i的值为 .

13.在样本频率分布直方图中，共有
个小长方形，若最中间一个小长方形的面积等于其它
个小长方形的面积之和的
，且样本容量为
，则最中间一组的频数为___ .

14.已知关于
的二次函数
，设集合
,

，分别从集合
和集合
中随机取一个数记为
和
，则函数
在
上是增函数的概率为_________.

15.已知矩形
的长
，宽
，将其沿对角线
折起，得到四面体
，如图所示，

给出下列结论：

①四面体
体积的最大值为
；

②四面体
外接球的表面积恒为定值；

③若
分别为棱
的中点，则恒有
且
；

④当二面角
为直二面角时，直线
所成角的余弦值为
；

⑤当二面角
的大小为
时，棱
的长为
．

其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)．

三、解答题：（本题共6小题，共75分，解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.（本题满分12分）

在正方体
中，
是底面
对角线的交点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角.

17.（本题满分12分）

设
实数
满足
，其中
；
实数
满足
.

（Ⅰ）若
，且
为真，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.

18.（本题满分12分）

如图所示，等腰梯形
的底边
在
轴上，顶点
与顶点
关于原点
对称，且底边
和
的长分别为
和
，高为
.

（Ⅰ）求等腰梯形
的外接圆
的方程；

（Ⅱ）若点
的坐标为
，点
在圆
上运动，

求线段
的中点
的轨迹方程.

19.（本题满分12分）

某高
校在
年的自主招生考试成绩中随机抽取
名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.

组号

分组

频数

频率



第
组









第
组









第
组









第
组









第
组









合计









（Ⅰ）求频率分布表中
的值，并补充完整相应的频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
组中用分层抽样的方法抽取
名学生进入第二轮面试，则第
组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从
名学生中随机抽取
名学生接受甲考官的面试，求第
组至少有
名学生被甲考官面试的概率．

20.（本题满分13分）

如图，正四棱锥
的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，点
在侧棱
上，且
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）侧棱
上是否存在一点
，使得
平面
.

若存在，求
的值；若不存在，试说明理由.

21.（本题满
分14分）

已知点
到点
的距离是点
到点
的距离的
倍．

（Ⅰ）求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）若点
与点
关于点
对称，点
，求
的最大值和最小值．

（Ⅲ）若过点
的直线交第（Ⅱ）问中的点
的轨迹于
两点，且
，求
的取值范围．

（Ⅱ）【解】如图，连接 ,由（Ⅰ）知， 平面 .

∴ 为 在平面 内的射影.

∴ 为直线 与平面 所成的角. 8分

在 中，∵ ，

∴ ， 10分

又∵ ，∴ ,

∴直线 与平面 所成的角为 . 12分

【说明】该题用向量法解答可参照评分标准相应给分。

17．【解】（Ⅰ）当 时， 实数 满足 ， 1分

∵ 为真，∴ ， 4分

∴实数 的取值范围为 . 5分

（Ⅱ）设 ， 6分

∵ 是 的充分不必要条件， ,∴ ， 11分

∴实数 的取值范围为 . 12分

18．【解】（Ⅰ）设 ，

由已知可得： ， 2分

由 得：

， 4分

∴圆 的圆心为 ，半径为 ，

∴圆 的方程为： .
6分

（Ⅱ）设 ， 7分

∵ 为线段 的中点，∴ ， 9分

代入点 所在圆的方程得：

， 11分

∴点 的轨迹方程为 . 12分

19．【解】（Ⅰ）由题意可知：

第 组的频数为 ，

第 组的频率为 . 2分

频率分布直方图如图所示：

4分

（Ⅱ）因为第 组共有 名学生，所以利用分层抽样在 名学生中抽取 名学生，

每组分别为：第 组： 名，第 组： 名，第 组： 名，

所以第 组分别抽取 名、 名、 名． 7分

（Ⅲ）设第 组的 名学生分别为 ，第 组的 名学生分别为 ，第 组的 名学生为 ，则从 名学生中抽 名学生有如下 种可能：

9分

其中第 组的 名学生至少有 位学生入选的有

种可能， 11分

所以第 组的 名学生至少有 名学生被甲考官面试的概率为 . 12分

【说明】该题用其它解法可参照评分标准相应给分。

20．连接 交 于 ，

∵四棱锥 是正四棱锥，且底面是正方形，

∴ ，

所以建立如图所示的直角坐标系 . 1分

设 ，
由已知可得：

，

所以 2分

设 ，则

∵ ，∴ ,

∴ ，∴ . 3分

（Ⅰ）【证明】∵ ，

∴
，∴ . 5分

（Ⅱ）【解】设 为平面 的一个法向量，则：

∴ ， 7分

令 ，得： ，显然 为平面 的一个法向量，

设二面角 的大小为 ，则 ，

又由图可知二面角 为锐二面角，所以 ，∴ .

所以二面角 的大小为 . 9分

（Ⅲ）【解】假设在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 .

由 ，得： ， 11分

由（Ⅱ）知， 为平面 的一个法向量，

∵ 平面 ，∴ ，即：

即： ，∴ ，

所以当 时， 平面 . 13分

【说明】该题
用几何法解答可参照评分标准相应给分。

21．【解】（Ⅰ）设点 ，由题意可得： ，即

，

所以点 的轨迹方程为 . 4分

（Ⅱ）设 ，由题可得 ， ,

代入上式消去可得： ，

即 的轨迹方程为 ， 6分

即 .

令

，所以 ，

由已知可知：直线 与圆 有公共点，

所以 ，

因此， 的最大值为 ，最小值为 . 9分

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