延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试

高二数学（文科） 2015.1

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 把答案填在答题卡内）

1. 点
到直线
的距离
.

2. 双曲线
的渐近线方程是 .

3. 已知函数
，则
.

4. 已知三点
，
，
共线，则实数
.

5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是 .注：
（
为球的半径）

6. 抛物线
上一点
和焦点
的距离等于
，

则点
的坐标是 .

7. 某几何体的三视图如右图所示，

则它的体积是 ．

8. 设
，若直线
与直线
垂直，则实数
.

9. 过点
与圆
相切的直线方程为 .

10. 如图，正方体
的棱长为
，

线段
上有两个动点
，且
，

则四面体
的体积
.

二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.

11.下列命题错误的是

A．已知直线
，且
，则

B．已知直线
平面
，且直线
平面
，则

C．已知直线
平面
，过平面
内一点作
，则

D．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内

12.已知两圆
和
，则两圆的位置关系为

A.相交 B. 外切 C. 内切 D.相离

13.从椭圆
上一点
向
轴作垂线,垂足恰为右焦点
,
是椭圆与
轴负半轴的交点,
是椭圆与
轴正半轴的交点,且
(
是坐标原点),则该椭圆的离心率是

A．
B．
C．
D．

14.设点
,则“
且
”是“点
在直线
上”的 （　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15.已知函数
的导函数
的图像如图所示，给出下列三个结论：
的单调递减区间是
；函数
在
处取得极小值；


. 正确的结论是

A.  B.  C. D.

16.曲线
过点
的切线条数为

A.
条 B.
条 C.
条 D.
条

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.

18. （本小题满分10分）

已知在空间四边形
中，
，

且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
.

19. （本小题满分12分）

已知以点
为圆心的圆经过点
和
，线段
的垂直平分线交圆
于点
和
，且
.

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）求圆
的方程.

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，

底面
为平行四边形，

平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，
,
，

求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）设平面
平面
直线
，求证：
.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
的焦点为
和
，椭圆上一点到两焦点的距离之和为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
交于
两点.当
变化时，求
面积的最大值（
为坐标原点）.

22. （本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）讨论
的单调性.

延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试

高二数学答案及评分标准（文科） 2015.1

一、填空题：（
）

1.
2.
3.
4.
5.

6.
，
7.
8.
9.
，
10.

二、选择题：（
）

11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.B

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. （本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求函数在区间
上的最大值和最小值.

解：（Ⅰ）
， ……………2分

解方程
， 得
，
……………3分

当
变化时，
，
变化状态如下表：

……………7分

从表上看出，当
时，函数有极大值，且

. ……………8分

当
时，函数有极小值，且

. ……………9分

（Ⅱ）
， ……………10分

. ……………11分

与极值点的函数值比较，得已知函数在区间
上

的最大值是
，最小值是
. ……………12分

18. （本小题满分10分）

已知在空间四边形
中，
，

且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
.

（Ⅰ）证明：因为
分别是
的中点，

所以，
为
的中位线，所以
.………2分

又因为
平面
，
平面
,

所以，
平面
. ……………4分

（Ⅱ）证明：连结
，

在
中，因为

是
中点，所以
.……………6分

同理可证，
. ……………7分

又因为，
，
平面
，
平面
，

所以，
平面
. ……………9分

又因为，
平面
，所以
. ……………10分

19. （本小题满分12分）

已知以点
为圆心的圆经过点
和
，线段
的垂直平分线交圆
于点
和
，且
.

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）求圆
的方程.

解：（Ⅰ）直线
的斜率
，
中点坐标为
，

∴直线
的斜率为
，

∴直线
方程为
，即
……………4分

（Ⅱ）设圆心
，则由
在
上,得

① ……………6分

又直径
,
,

② ……………8分

由①②解得
或

∴圆心
或
……………10分

∴圆
的方程为

和
……………12分

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，

底面
为平行四边形，

平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，
,
，

求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）设平面
平面
直线
，求证：
.

（Ⅰ）证明：

因为

平面
，
平面
，所以
. ……1分

又因为，
，
平面
，
平面
，
，

所以，
平面
. ………3分

因为，底面
为平行四边形，所以
.

所以
平面
. ………5分

（Ⅱ）解：因为，底面
为平行四边形，

平面
，

所以

平面
.

所以

. ………8分

（Ⅲ）证明：因为底面
为平行四边形，所以
. ………9分

因为
平面
，
平面
，所以
平面
. ………10分

因为，平面
平面
，
平面
，所以
. ………12分

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
的焦点为