延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试

高二数学（理科） 2015.1

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 把答案填在答题卡内）

1. 点
到直线
的距离
.

2. 双曲线
的渐近线方程是 .

3. 命题“
，使得
”的否定是 .

4. 已知三点
，
，
共线，则实数
.

5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是 .注：
（
为球的半径）

6. 抛物线
上一点
和焦点
的距离等于
，则点
的坐标是 .

7. 某几何体的三视图如右图所示，

则它的体积是 ．

8. 设
，若直线
与直线
垂直，则实数
.

9. 过点
与圆
相切的直线方程为 .

10. 已知三棱柱
的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形.若
为底面
的中心,则
与平面
所成角的大小为 . （　　）

二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.

11.下列命题错误的是

A．已知直线
，且
，则

B．已知直线
平面
，且直线
平面
，则

C．已知直线
平面
，过平面
内一点作
，则

D．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内

12.已知两圆
和
，则两圆的位置关系为

A.相交 B.外切 C.内切 D.相离

13.从椭圆
上一点
向
轴作垂线,垂足恰为右焦点
,
是椭圆与
轴负半轴的交点,
是椭圆与
轴正半轴的交点,且
(
是坐标原点),则该椭圆的离心率是

A．
B．
C．
D．

14.设点
,则“
且
”是“点
在直线
上”的 （　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15. 已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，点
在抛物线
上，且
，则
的面积为

A.
B.
C.
D.

16.正方体
的棱长为
，底面
内任一点
，作
，

垂足为
，满足条件
.则点
的轨迹为

A．线段 B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

已知在空间四边形
中，
，

且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
.

18. （本小题满分12分）

已知以点
为圆心的圆经过点
和
，线段
的垂直平分线交圆
于点
和
，且
.

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）求圆
的方程.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，

底面
为平行四边形，

平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设平面
平面
直线
，

求证：
；

（Ⅲ）若
，
,
，求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为
.

（Ⅰ）点
满足
.当点
在抛物线
上运动时,求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设斜率为
的直线
过定点
，求直线
与抛物线
恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时
的相应取值范围．

21. （本小题满分12分）

已知
为直角梯形，
，

平面
，
，
.

（Ⅰ）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

22. （本小题满分12分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
,
,短轴的两个端点分别为
,
，且
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程;

（Ⅱ）若过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,且以线段
为直径的圆经过左焦点
,求直线
的方程.

延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试

高二数学答案及评分标准（理科） 2015.1

一、填空题：（
）

（1）
（2）
（3）“
，
”（4）
（5）

（6）
，
（7）
（8）
（9）
，
（10）

二、选择题：（
）

11.B 12.C 13.D 14.A 15.B 16.D

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. （本小题满分10分）

已知在空间四边形
中，
，

且
分别是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
.

（Ⅰ）证明：因为
分别是
的中点，

所以，
为
的中位线，所以
.………2分

又因为
平面
，
平面
,

所以，
平面
. ……………4分

（Ⅱ）证明：连结
，

在
中，因为

是
中点，所以
. ……………6分

同理可证，
. ……………7分

又因为，
，
平面
，
平面
，

所以，
平面
. ……………9分

又因为，
平面
，所以
. ……………10分

18. （本小题满分12分）

已知以点
为圆心的圆经过点
和
，线段
的垂直平分线交圆
于点
和
，且
.

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）求圆
的方程.

解：（Ⅰ）直线
的斜率
，
中点坐标为
， ∴直线
的斜率为
，

∴直线
方程为
，即
……………4分

（Ⅱ）设圆心
，则由
在
上,得

① ……………6分

又直径
,
,

② ……………8分

由①②解得
或

∴圆心
或
……………10分

∴圆
的方程为

和
……………12分

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，

底面
为平行四边形，

平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设平面
平面
直线
，

求证：
；

（Ⅲ）若
，
,
，求三棱锥
的体积.

（Ⅰ）证明：因为

平面
，
平面
，所以
.……1分

又因为，
，
平面
，
平面
，
，

所以，
平面
. ………3分

因为，底面
为平行四边形，所以
.

所以
平面
. ………5分

（Ⅱ）证明：因为底面
为平行四边形，所以
. ………6分

因为
平面
，
平面
，所以
平面
. ………8分

因为，平面
平面
，
平面
，所以
. ………10分

（Ⅲ）解：因为，底面
为平行四边形，

平面
，

所以

平面
.

所以

. ………12分

20. （本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为
.

（Ⅰ）点
满足
.当点
在抛物线
上运动时,求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设斜率为
的直线
过定点
，求直线
与抛物线
恰好有一个公共点、两个公共点、没有公共点时