德化一中2014-2015学年高二上第二次月考理 科 数 学

2014.12

本试卷分三大题，共4页。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．

1．给出命题：p：
，q：
，则在下列三个命题：“p且q” “p或q” “非p”中，真命题的个数为（ ）

A．0 B．3 C．2 D．1

2．命题“
，
”的否定是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3．已知
，动点满足：
，则动点的轨迹为（ ）

A、椭圆 B、抛物线 C、线段 D、双曲线

4．抛物线
的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知等差数列
的前13项之和为
，则
等于（ ）

A. 6　　　　　 B. 9　　　 　 C. 12　　　 D. 18

6.若点
满足条件：
，则
的取值范围是(　　)

A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]

7．已知正方体
中，点为上底面
的中心，若
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过点
，且与
有相同渐近线的双曲线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若点在椭圆
上，
、
分别是椭圆的两焦点，且
，则
的面积是（ ）

A. 2 B.
C.
D. 1

10．“方程
+
=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知
均为正数，
，则使
恒成立的实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
，
，椭圆的一个短轴端点为，直线
与双曲线的一条渐近线平行，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，则
取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

13．已知x＞2，则y＝
的最小值是________．

14．已知抛物线
，为其焦点，为抛物线上的任意点，则线段
中点的轨迹方程是________．

15．有下列四个命题，

①“若
，则
互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
，则
有实根”的逆命题； ④“若
，则
”的逆否命题；

其中真命题有________．

16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为________米.

17、已知抛物线
，圆
，直线
，其中
，直线
与
的四个交点按横坐标从小到大依次为
，则
的值为________．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．

18、（本小题满分12分）

已知双曲线
的离心率为
，实轴长为2．

（1）求双曲线C的方程；（2）若直线
被双曲线C截得的弦长为
，求实数的值．

19、（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．

（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；

（2）求E到平面ACD的距离；

（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．

20、（本小题满分13分）

已知等差数列
的前项和为
，且
．

（1）求数列的通项
； （2）求数列
的前项和
；

（3）若数列
满足

，求数列
的通项公式，并比较
与
的大小．

21、（本小题满分14分）

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

（1）求证：B1E⊥AD1；

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆
过点
，其焦距为.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：

（i）如图（1），点为
在第一象限中的任意一点，过作
的切线
，
分别与轴和轴的正半轴交于
两点，求
面积的最小值；

（ii）如图（2），过椭圆
上任意一点作
的两条切线
和
，切点分别为
.当点在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线
相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1） 图（2）

数学理科试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

C

B

C

A

B

D

A

A

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

13、4 14、
15、①③ 16、
17、

三、解答题：本大题共5小题，共65分．

18. (1)由题意，解得
，∴

∴所求双曲线
的方程为
. …………… 5分

(2)

由弦长公式得
…………… 12分

19. 解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．

(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，

∴|cos〈，〉|＝＝，

∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为. …………… 4分

(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，

则∴∴令x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．

∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，∴ E到平面ACD的距离为d＝＝＝. ……… 8分

(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝ …………… 12分

20．（本题满分13分）

（1）由
是等差数列，


，∴
………3分，

（2）
，∴

所以
。………7分

（3）因为
，所以，当
时，

当
时，
满足上式，故
………10分。

当
时，
，………11分

当
时，
，

所以
………13分

21. 解　(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.

∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B1E⊥AD1. …………… 4分

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，

使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

由n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，

∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. …………… 9分

(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.

又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1.

∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．

设与n所成的角为θ，则cosθ＝＝.

∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，即＝， …… 14分

22、解得a＝2，即AB的长为2.　　

（I）解：依题意得：椭圆的焦点为
，由椭圆定义知：

，所以椭圆
的方程为
. …………… 4分

（II）（ⅰ）设
，则椭圆
在点B处的切线方程为

令
，
，令
，所以
…………… 5分

又点B在椭圆的第一象限上，所以

…………… 7分

，当且仅当

所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
…………… 9分

（Ⅲ）设
，则椭圆
在点
处的切线为：

又
过点
，所以
，同理点
也满足
，

所以
都在直线
上，

即：直线MN的方程为
　 ……………12分

所以原点O到直线MN的距离

，………… 13分

所以直线MN始终与圆
相切. …………… 14分