“福建省四地六校2014-2015学年高二第三次月考试卷数学（理）

第Ⅰ卷

一、选择题（单选题、每小题5分，共50分）

1、已知命题P： n∈N，2n＞1000，则P为 ( )

A． n∈N，2n≤1000 B． n∈N，2n＞1000

C． n∈N，2n≤1000 D． n∈N，2n＜1000

2、如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为
和
，样本标准差分别为
和
，则 ( )

(A)
＞
，
＞

(B)
＜
，
＞

(C)
＞
，
＜

(D)
＜
，
＜

3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ( )

A．7 B．6 C．5 D.4

4、如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（ ）

A、甲运动员的成绩好于乙运动员 .B、乙运动员的成绩好于甲运动员

C、甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差别 D、甲运动员的最低得分为0分

5、设
是首项大于零的等比数列，则“
”是“数列
是递减数列”的（ ）

（A）充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件

(B)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

6、已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则 (　　)

A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1

7、已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 (　　)

A．1－ B． C. 1－ D.

8、设为曲线
：
上的动点，且曲线
在点处切线倾斜角的取值范围为
，则点横坐标的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知定点M（1，
给出下列曲线方程：

4x+2y-1=0 ②
③

④

在曲线上存在点P满足

的所有曲线方程是 （ ）

（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④

10、点在直线
上，若存在过的直线交抛物线
于
两点，且

，则称点为“
点”，那么下列结论中正确的是 （ ）

A．直线
上的所有点都不是“
点”

B．直线
上仅有有限个点是“
点”

C． 直线
上的所有点都是“
点”

D．直线
上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
点”

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生 　　　　　

12．设函数f(x)满足
，则f′(1)＝

13.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于

14.设
函数f(x)=
在区间
上单调递增；
.如果“非
”是真命题，“
或
”也是真命题，那么实数
的取值范围是　　　　　

15、关于
所表示曲线的描述：（1）该曲线是中心对称图形（2）该曲线是轴对称图形（3）点p(cos
)可能在该曲线外部（4）该曲线围成的图形的面积小于或等于（5）该曲线围成的图形的面积一定大于

以上说法正确的是： （只需填上正确命题的题号）

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16、（本小题满分13分）已知函数

（1）求这个函数的导函数；

（2）求这个函数在点
处的切线方程.

17、（本小题满分13分）某中学高二学生喜欢玩扑克牌，甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

（1）设用（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．

（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，若甲抽到的牌的牌面数字小于或者等于乙抽到的牌的牌面数字，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．

18、（本小题满分13分）

某设备的使用年限x与所支出的总维修费用y万元有如下统计资料：

使用年限x

2

3

4

5

6



维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



(1)画出散点图，并指出是何种相关?

(2)若用最小二乘法求得
，求线性回归方程?(精确到0.01)

（3）若要使总维修费用不超过14万元，请你估计大约能使用多少年？（精确到年）

19、（本小题满分13分）若曲线上的点P（x,y）到点F（1，0）的距离与它到x=4的距离之比为
.

(1)求出P点的轨迹方程

（2）过F（1，0）作直线l与曲线交于A,B两点，曲线与x轴正半轴交于Q点，若

的面积为
，求直线l的方程。

20、（本小题满分14分）如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.

(1)求证:FG∥平面PED.

(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.

(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.

21、（本小题满分14分）已知抛物线
：
(a0)，
为直线

上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
，切点分别为,.

（Ⅰ）当a=4且
的坐标为
时，求过
三点的圆的方程；

（Ⅱ）证明： 直线
恒过定点

（Ⅲ）是否存在抛物线
，使得以A、B为直径的圆恒过点M,若有，求出这样的抛物线，若没有，说明理由。

“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考

2014－2015学年上学期第三次月考参考答案（高二理科数学）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

D

A

C

B

C

A

D

C



二、填空题

11、15 12、 1 13 、
14 、(4,
) 15 ①②⑤

三、解答题

16、（1）解：
(x)=1+lnx+1=lnx+2 ………………6分

（2）解：

∴切点A（1，1） ………………8分

∴

∴函数在x=1处的切线斜率为2 ………………10分

∴该函数在点
处的切线方程为y=2x-1……………………………13分

17、解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为：（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（ 4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况.
┄…………………4分。

（2）甲抽到红桃3，则乙抽到的牌只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
.………………………………………………………………………8分。

（3）不公平.由甲抽到牌的牌面数字比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3）5种， 甲胜的概率为
乙胜的概率为
．∵
，……12分。

∴此游戏不公平. ……………………………………………………………………13分

18、解：（Ⅰ）画出散点图，指出是正相关 ………………4分

（2）可得

由线性回归方程必过样本的中心点（4，5） ………………6分

∴

线性回归方程为：
………………8分

（3）由

，得：
………………10分

又因为
，所以最大

答：若要使总维修费用不超过14万元，估计大约能使用11年。 ………………13分

19、解：(1)由题意知：
，即

P点的轨迹方程为
……………………4分

（2）设直线的方程为x=ty+1,A(
,
),B(
,
)与椭圆的方程联立得：

化简得：（3
+4）
+6ty-9=0………………6分

+
=

.
=

=
.
.
=
.1
………….9分

.
=

=
……………………….12分

解得：t=
直线的方程为x+
y-1=0或x-
y-1=0…………13分

(3)不存在，分别过A、B、C作x=4的垂线，垂足分别为A
,B
,C

不防设
，
，
依次成等差数列，则
+
=2

则

，即

∴C为线段AB的中点，点C不在椭圆上

这样的A、B、C三点不存在…………………………………………13分

20、解： (1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥PE.

又FG?平面PED,PE?平面PED,所以FG∥平面PED……………2分

(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,

所以PD⊥平面ABCD,

所以PD⊥AD,PD⊥CD.

又因为四边形ABCD是正方形,

所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,

因为AD=PD=2EA=2,

所以D
,P
,A
,C
,

B
,E(2,0,1).

因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,

所以F
,G
,H(0,1,1).

所以
=
,
=
.

设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,

则
即

再令y1=1,得n1=(0,1,0).
=(2,2,-2),
=(0,2,-2).

设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,

则
即

令z2=1,得n2=(0,1,1).

所以

所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为
.………………………………8分

(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°.

依题意可设
=λ
,其中0≤λ≤1.

由
=(0,2,-2),则
=(0,2λ,-2λ).

又因为
=
+
,
=(-1,-1,1),

所以
=(-1, 2λ-1,1-2λ).

因为直线FM与直线PA所成角为60°,
=(2,0,-2),

所以
=
,

即
=
,

解得λ=
.

所以
=
,
=
.

所以线段PC上存在点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM的长度为
..14分

21、解：（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，由



消y得x2-4kx+4=0，（1）

令△=（4k）2-4×4=0，解得：k=±1，

代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），

设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，

故过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y-1）2=4；?…………4分?

（Ⅱ）设M（
,0）,A(
)B(
)

y=

直线MA,MB的方程为
,
…………6分

直线MA,MB过M点，
，
。

满足方程
………………8分

AB的方程为

直线AB过定点（0，1）………………………………10分

（Ⅲ）假设这样的点存在，则
恒成立

恒成立………………12分

对任意的
恒成立

a=4,这样的抛物线存在，其方程为
………………14分