第Ⅰ卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．有下列四个命题

①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”； ④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．

其中真命题的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

3．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．充要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列命题错误的是(　　)

A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”

B．对于命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则?p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题

D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

5．点M与点F(3,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　)

A．y2＝－12x　　　　B．y2＝6x C．y2＝12x D．y2＝－6x

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于(　　)

A. B. C．2 D．2

7．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

8．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

9．已知f ′(x0)＝a，则 的值为(　　)

A．－2a　　　 B．2a C．a D．－a

10．f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是(　　)

A．－ B．－3 C．－1　　　 D．3

11．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标为(　　)

A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1)

C．(2,8) D．(－，－)

12．若可导函数f(x)的图像过原点，且满足 ＝－1，则f ′ (0)＝(　　)

A．－2 B．－1 C．1 D．2

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．命题“?x∈[－2,3]，－1

14．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为________．

15．设f(x0)＝0，f′(x0)＝，则 ＝________.

16．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝____________.

三、计算题（共70分）

17．（10分）求下列函数的导数．

(1)y＝ex＋xlnx；

(2)y＝.

18．（12分）求曲线y＝f(x)＝x2－3x＋2lnx在(3，f(3))处切线的斜率及切线方程．

19．（12分）求过原点作曲线C：y＝x3－3x2＋2x－1的切线方程．

20．（12分）已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若?p是?q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

21．（12分）已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行，

(1)求直线l的方程；

(2)求以F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．

22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

高二数学（文）第三次阶段性考试答案

5、[答案]　C

[解析]　由抛物线的定义知，点M的轨迹是F为焦点，直线x＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y2＝12x.

6、[答案]　B

[解析]　∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，

又＝，结合a2－b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B.

7、[答案]　B

[解析]　过P与x轴平行的直线y＝1与抛物线只有一个交点；过P与抛物线相切的直线x＝0，y＝x＋1与抛物线只有一个交点．

10、[答案]　D

[解析]　因为f′(x)＝x2＋2，所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.

11、[答案]　B

[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，

∴k＝3x＝3，∴x0＝±1，

∴P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

12、[答案]　B

[解析]　∵f(x)图像过原点，∴f(0)＝0，

∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1，

∴选B.

13、[答案]　?x∈[－2,3]，x≤－1或x≥3

[解析]　全称命题的否定是特称命题，将“?”改为“?”，将“－1

14、[答案]　26

[解析]　由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a＝8，|BF1|－|BF2|＝8，

∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝16.

又∵|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝5，

∴|AF1|＋|BF1|＝16＋5＝21.

∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.

18、[答案]　斜率　切线方程y＝x－＋2ln3

[解析]　由已知x>0，

∴f′(x)＝x－3＋.

曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为f′(3)＝.又f(3)＝－9＋2ln3＝－＋2ln3.

∴方程为y－(－＋2ln3)＝(x－3)，

即y＝x－＋2ln3.

19、[答案]　x＋y＝0或23x－4y＝0

[解析]　设切点为(x0，y0)，

∵y′＝3x2－6x＋2，

∴切线斜率为3x－6x0＋2，

∴切线方程为y－y0＝(3x－6x0＋2)(x－x0)

∵切点在曲线C，

∴y0＝x－3x＋2x0－1， ①

又切线过原点，

∴－y0＝(3x－6x0＋2)(－x0)， ②

由①②得0＝－2x＋3x－1，

∴2x－3x＋1＝0，

因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0，

∴x0＝1或x0＝－，

∴两个切点为(1，－1)，(－，－)

∴两条切线方程为y＋1＝－1(x－1)和y＋＝(x＋)

即x＋y＝0或23x－4y＝0.

22、[答案]　(1)∪　(2)k值不存在

[解析]　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程整理得x2＋2kx＋1＝0. ①

∵直线l与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，

解得k<－或k>.

即k的取值范围为∪.

(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，

则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，

由方程①，x1＋x2＝－. ②

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. ③

又A(，0)，B(0,1)，∴＝(－，1)．

∵＋与共线，

∴x1＋x2＝－(y1＋y2)， ④

将②③代入④式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.