考试说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的班级、姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1. 用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（ ）

A．
B．
C．
D．8

2. 有下列命题正确的是（ ）

（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）

3. 已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　 　)

A．3 B．2 C. D．5

4．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）

A．若
则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

6. 已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝(3，λ，
)平行，则λ＝(　　)

A.
? B.
? C.－
? D.－

7. 已知A(3,4,5)，B (0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)

A.　　 B.  C. D.

8. 如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

9. 如图所示，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c

C.a－b＋c D．－a－b＋c

10. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

11. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
，画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到正视图可以为( )

12. 空间四边形
的各边及对角线长度都相等，
分别是
的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）

A．
平面
B．
平面

C．平面
平面
D．平面
平面

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

14. 已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.

15. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________
。



16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.

其中正确结论的序号是________

三、解答题（70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）如图,在直三棱柱
中,
,
,
, 点是
的中点。

(1)求证:
;

(2)求证:
∥平面
.

18．（本小题满分12分）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5
。（如图所示）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥
的底面是正方形，

，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面
；

（Ⅱ）当
且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的

角的大小。

20.（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。

（I）求证：

（II）

21．（本小题满分12分）如图，直棱柱
中，
分别是
的中点，
。（Ⅰ）证明：
平面
； （Ⅱ）求二面角
的正弦值。

22． (本小题满分12分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD,

AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点。

(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的

正弦值为
, 求线段AM的长.



17答案】

【解析】证明: (1) 因为三棱柱
为直三棱柱,

所以
平面
, 所以
.

又因为
,
,
,

所以
,

所以
.

又
,

所以
平面
,

所以
.

(2) 令
与
的交点为, 连结
. 因为是
的中点,为
的中点,

18解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5
，得SC=
=10。

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=
，

∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=
，

S△ABC=
·AC·BC=
×5×5=
，

∴VS－ABC=
·S△ACB·SA=
。

19【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵
，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面
.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

在Rt△AOE中，
，

∴
，即AE与平面PDB所成的角的大小为
.

【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系
，

设

则
，

（Ⅰ）∵
，

∴
，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面
.

（Ⅱ）当
且E为PB的中点时，
，

设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∵
，

∴
，

∴
，即AE与平面PDB所成的角的大小为
.

20

21

22