数学试题共4页。满分150 分。考试时间120 分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线
的倾斜角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线
的渐近线?( )

A.
B.

C.
D.

3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,

则该几何体的表面积是( )

A.
B.
C.
D.
(图1)

4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。其中能使“
”为真命题的是( )

A.③④ B.①③ C.②③ D.①②

5.直线
不经过坐标原点O, 且与椭圆
交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为 ( )

A.
B.1 C.
D.2

6.已知命题
直线
与双曲线
有且仅有一个交点；命题
若直线
垂直于直线,且
则
. 下列命题中为真命题的是( )

A.
B.
C.
D.

7.下列有关命题的说法错误的是 ( )

A.对于命题：
使得
. 则：
均有
.

B.“
”是“
”的充分不必要条件.

C.命题“若
, 则
”的否命题为：“若
,则
”.

D.命题“若
，则
”是假命题.

8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=
. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误的是( )

A.面ABD⊥面BCD B.面ABD⊥面ACD

C.面ABC⊥面ACD D.面ABC⊥面BCD

9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PAB⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为
. 若
, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )

A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

10.设椭圆
的离心率为
,右焦点为F（c, 0），方程
的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )

A.必在圆
内 B.必在圆
上

C.必在圆
外 D.以上三种情形都有可能

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.

11.过点P(3,1)向圆
作一条切线, 切点为A, 则切线段PA的长为 .

12.椭圆
+
=1上一点P到它的右准线的距离是10,那么P点到左焦点的距离是 .

13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 .

14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是

球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .

15.(原创)设A为椭圆
(
)上一点, 点A关于原点

的对称点为B, F为椭圆的右焦点, 且AF⊥BF. 若∠ABF∈[
,
], (图4)

则该椭圆离心率的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16.(本小题13分)已知双曲线
的离心率为
，实轴长为2。

(1)求双曲线C的方程； (2)若直线
被双曲线C截得的弦长为
，求的值。

17.(本小题13分)已知命题A：方程
表示焦点在轴上的椭圆；

命题B：实数
使得不等式
成立。

（1）若命题A为真，求实数的取值范围；

（2）若命题B是命题A的必要不充分条件，求实数的取值范围。

18.(本小题13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
，点E、F、G分别是AA1、

AC、BB1的中点，且CG⊥C1G .

(1)求证：CG//面BEF;

(2)求证：面BEF⊥面A1C1G .

19. (本小题12分) 如图6-(1)所示，在边长为12的正方形
中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q. 现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得
与AA1重合，构成如图6-(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1.

(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，求证：AP⊥BC;

(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；

(3)在三棱柱ABC- A1B1C1中，求直线 PQ与直线AC所成角的余弦值.

20.(本小题12分)已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点B恰好是抛物线
的焦点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线
与椭圆C交于
两点，那么椭圆C的右焦点是否可以成为
的垂心？若可以,求出直线
的方程；若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)

21.(原创)(本小题12分)如图7, 已知圆
,设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上.

(1)当在
内变化时，求点M的轨迹E的方程；

(2)已知定点P(-1,1)和Q(1,0)，设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2 . 求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点。



16.解：(1)由题意，解得
，∴
，∴所求双曲线
的方程为
.

(2)
,由弦长公式得
.

而CG//面BEF, 所以面BEF⊥面A1C1G.

19. (1)证明:因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC2=AB2+BC2,即BC⊥AB.又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面ABB1A1, 则AP⊥BC.

(2)解:
, 由于CQ//面APA1且BC⊥面APA1, 所以Q到面APA1距离就是BC的长4, 所以
.

(3)解: 建立如图空间直角坐标系，则A(3,0,0)、C(0,4,0)、

P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以
设直线AC

与直线PQ所成角为
，则cos

20.解: (1)设椭圆方程为
,抛物线
的焦

点为(0,1), 由
,所以椭圆方程为

(2)假设存在直线
,使得点是
的垂心.易知直线
的斜率为
,从而直线
的斜率为1.设直线的方程为
,代入椭圆方程并整理,可得
.

设
,则
，
.于是

解之得
或
.

当
时,点即为直线
与椭圆的交点,不合题意; 当
时,经检验符合题意.

所以当且仅当直线
的方程为
时, 点是
的垂心.

21解:(1)设
,则
的中点
.因为
,
,
在⊙
中,因为
，所以,
，所以
.所以,点
的轨迹的方程为:

.

(2)设M, M1, M2的坐标分别为
,其中
.

由P,M,M1共线得
; 由Q,M,M2共线得
.