考试说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的班级、姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．在空间中，a,b是不重合的直线，
是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是( )

A.
? B.

C.
? D.

2．如图，E、F分别是正方形
的边
的中点，沿SE、SF、EF将它折成一个几何体，使
重合，记作D，给出下列位置关系：

①SD面EFD ； ②SE面EFD；③DFSE；④EF面SE其中成立的有（ ）

A．①与② B．①与③ C．②与③ D．③与④

3．已知焦点在y轴的椭圆
的离心率为
，则m=（ ）

A. 3或
B. 3 C.
D.

4．若
是两条异面直线，
是两个不同平面，
，
，
，则（ ）

A．
与
分别相交 B．
与
都不相交

C．
至多与
中一条相交 D．
至少与
中的一条相交

5．双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于（ ）

A.
B. C.
D.

6．若点（x，y）在椭圆
上，则
的最小值为（ ）

A.1 B.－1 C.－

D.以上都不对

7．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为（ ）

A．1 B．1或2 C．1或3 D．3

8．若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为（ ）

A.y=±2x B.y=
C.
D.

9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是(　　 )

A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m⊥α，n∥m，则n⊥α D．若m∥α，n∥α，则m∥n

10．某四棱锥的三视图如图所示，该四面体的表面积是（ ）

A．32 B．
C．48 D．

11．双曲线
的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知两异面直线
的夹角是15°，过空间一点作直线
，使得
与
的夹角均为8°，

那么这样的直线
有（ ）

A．3条 B．2条 C．1条 D．0条

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．点P在以F1、F2为焦点的椭圆
上运动, 则△PF1F2的重心G的轨迹方程是

14． 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是

15．已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为

16．若圆锥的表面积是
，侧面展开图的圆心角是
，则圆锥的体积是___ ____

三、解答题（70分）

17．(本小题满分12分)

已知椭圆：
的离心率为
，且过点
，求椭圆的标准方程；

18．（本小题满分10分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
的右焦点重合，求该抛物线的准线方程。

19．（本小题满分12分）如图，在正方体
中，、分别为棱
、
的中点。

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面
⊥平面
；

（3）如果
，一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱
、
、
、
、
上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由。

20.（本小题满分12分）已知正方体
的棱长为.

（1）求异面直线
与
所成角的大小；

（2）求四棱锥
的体积.

21．（本小题满分12分）正方体
的棱长为，
是
与
的交点，是
上一点，且
．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

22．（本小题满分12分）如图所示，点P是椭圆
=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积。



一 选择

二填空 13 【答案】

14 【答案】3 15 【答案】4
16 【答案】

三 解答 17 【答案】

18，【解析】椭圆
的右焦点为
，因此
，
，准线方程为
.

19. 【答案】在正方体
中，对角线
.

又E、F为棱AD、AB的中点，

.

. …………2分

又B1D1平面
，
平面
，

EF∥平面CB1D1. …………4分

（2）证明: 在正方体
中，AA1⊥平面A1B1C1D1，

而B1D1平面A1B1C1D1，

AA1⊥B1D1.

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

B1D1⊥平面CAA1C1. …………6分

又B1D1平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1． …………8分

（3）最小值为
.

如图，将正方体六个面展开成平面图形， …………10分

从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为
. …………12分.

20．（1）因为
，

直线
与
所成的角就是异面直线
与
所成角.

21

22 【解析】在椭圆
=1中，

a=
,b=2.∴c=
=1.

又∵点P在椭圆上，

∴|PF1|+|PF2|=2a=2
. ①

由余弦定理知：

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°

=|F1F2|2=(2c)2=4. ②

①式两边平方得

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20， ③

③-②得（2+
）|PF1|·|PF2|=16，

∴|PF1|·|PF2|=16（2-
）， ∴
=
|PF1|·|PF2|sin30°=8-4
.