注意事项：

1、本堂考试120分钟，满分150分。

2、答题前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上，并使用2B铅笔填涂。

3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置，考试结束后，请考生将答题卷交回。

参考公式：
；
；
；
；

；
；
；
。

一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)

1．下列四个命题中，是真命题的是（ ）B

A．经过定点
的直线都可以用方程
表示（其中k表示直线的斜率）

B．经过任意两个不同的点
的直线都可用方程
表示

C．不经过原点的直线都可以用方程
表示

D．经过定点
的直线都可以用方程
表示

2．一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）D

3．如果直线
与直线
互相垂直，则a的值等于（ ）C

A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2

4．如图正方形
中，
分别是
的中点，是
的中点，现在沿
把这个正方形折成一个四面体，使
三点重合，重合后的点记为
，则在四面体
中必有（ ）A

A．
所在平面 B．
所在平面

C．
所在平面 D．
所在平面

5．已知变量
满足约束条件
,则
的最小值为 （ ）C

A．12 B．11 C．8 D．

6．已知点
到直线
的距离相等，则实数的值为（ ）D

A．
B．
C．
D．
或

7．如图，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且
，

若侧棱长SA=
，则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为（ ）A

A．9 B．12

C．16 D．32

8．若点
在圆
的外部，则实数的取值范围为（ ）C

A．
B．
C．
D．

9．如图，正方体
中，是棱
的中点，是侧

面
上的动 点，且
//平面
，则
与平面

所成角的正切值构成的集合是 ( )C

A．
B．

C．
D．

10．已知圆
与二直线
和
都有公共点，则
的取值范围为（ ）D

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题4个小题，每题4分，共16分，请把答案填在答题卷上）

11．过点
且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________。

答案：
或

12． 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是

直角梯形（如右图所示），
，则这

块菜地的面积为_____________。

13．已知圆
，直线
，过点
作圆
关于直线
的对称圆
的二切线，且切点分别为
，则直线
的方程为______________．

14．已知点是直线
上的动点，若过点的直线与圆
相交于两点
，则
的最小值为____________16

15．有以下命题：①过空间一定点与两异面直线
都相交的直线有且只有1条；②平面外的直线
与平面内的无数条直线平行,则
∥；③异面直线
成角为
，过空间一定点作直线
与
成角都为
的直线有4条，则
的取值范围为
；④空间四边形
中，
分别是
的中点，若异面直线
与
所成角为
，则
。其中正确命题有______________②③

三．解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

16．（12分）已知
的顶点
，
边上的中线
所在直线方程为
，AC边上的高BH所在直线方程为
。求：（1）顶点C的坐标；（2）边BC所在直线的方程。

（2）设顶点
，则
边之中点
坐标为
代入中线
所在直线方程：
，得
，得
，则点

于是边BC所在直线的方程为：

17．（12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部为底面是

正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台
。上部为一个

底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等矩形的四棱柱
。

（1）证明：直线
平面
。

（2）现需要对该零件表面进行防腐处理，已知
（单位：厘米）每平方厘米的加工处理费为
元，需加工处理费多少元？

解：（1）略

（2）
，
，

处理费为：
元

18. （12分）如图，四棱锥
的底面
是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为
的等腰三角形。

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
分别为棱
的中点，求证：
∥侧面
；

（3）试求（2）中的
与底面
所成角的正弦值。

（1）证明：如图（图1）连接
且设
，连接

是正方形，则
，且
是
、BD之中点，

又由已知有
，则有
，

而
平面
且
，则
平面
，

又
平面
，则平面
平面

（2）如图2，取侧棱
之中点，连接
，

分别为棱
的中点，且底面
是正方形

∥
，且
，则
是平行四边形

则
∥
，又
侧面
，
平面

∥侧面

（3）如图3，过点
作
垂足
，连接

由（1）知
底面
，且
平面
，则平面
底面
，

则
底面
，
为
与底面
所成角

由（2）知
，而由为
之中点，且
，得

又在
中可得
，而
是
之中点，则

在
中，
，即
底面
所成角的正弦值为

19．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型

钢板类型

A规格

B规格

C规格



第一种钢板

2

1

1



第二种钢板

1

2

3



今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，各截这两种钢板多少块，可得所需A、B、C三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？

【解析】设所需第一种钢板张，第二种钢板张，共需截这两种钢板张，

根据题意，得约束条件为
，

则目标函数为

解方程组
，得点

把
变形为
，当直线
经过可行域上的点
时截距最小，

此时
，当
时直线
经过可行域内的点
它们是最优解。

答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板数最小的方法有两种：第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张。两种截法都最少要两种钢板12张。

20．（13分）已知圆
和圆
,直线
。（1）求过圆
的交点及原点
的圆的方程；（2）过直线
上一点作
使
，边
过圆心
，且
在圆
上。

①当点的横坐标为4时,求直线
的方程；②求点的横坐标的取值范围

解：（1）根据题意，设所求圆的方程为
，

又所求圆过原点
，则
，得

所求圆的方程为
即

（2）①当点的横坐标为4时，则点
，而圆心
，则
，

又
，边
过圆心
，且
在圆
上，则圆心
到边
所在直线的距离为

，设边
所在直线的方程为

，解得
或

则边
所在直线的方程为
或

即
或

②
点在直线
上，设点
，则

而
，边
过圆心
，且
在圆
上，且圆M的半径为

则有
，解得

即点的横坐标的取值范围为

21．已知
和
是两个有公共斜边的直角三角形，并且
。

（1）若是