第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知为锐角，且满足
，则等于（ ）

A．
或
B．
C．
D．

2．下列既是偶函数，又在
单调递增的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知集合
，
，若
，则实数的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知直线
x＋my＋6＝0，
(m－2)x＋3y＋2m＝0，若
∥
，则实数的值是（ ）

A．3 B．
C．
D．

5．已知
，且
，则使得
取得最小值的
分别是（ ）

A．2，2 B．
C．
D．

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图，正方形
是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正

方形拼接而成，现随机地向大正方形内部区域投掷小球，若直角三角形

的两条直角边的比是2:1，则小球落在小正方形区域的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象经过下列何种平移可得函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

9．若直线
与曲线
有公共点，则b的取值范围是（ ）

A．[
，
] B．[
，3]

C．[
，
] D．[
，
]

10．如图,是正方体
中
上的动点,下列命题：

①
；②
所成的角是60°；③
为定值；

④
∥平面
；⑤二面角
的平面角为45°．

其中正确命题的个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生．

12．程序框图如下图，若输出的S值为62，则n的值为 ．

13．已知数列
满足：
，
，则
．

14．已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且
，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为
，则球O的表面积为 ．

15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为

线段BD上的任意一点，设向量
，

则
的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本小题满分12分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如下图表：

（Ⅰ）分别求出x，n，y的值；

（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]内的5位居民a,b,c,d,e中任选2人作进一步的调查研究，求居民a被选中的概率．

分组

频数

频率



[0，1)

25

y



[1，2)



0.19



[2，3)

50

x



[3，4)



0.23



[4，5)



0.18



[5，6]

5







17．（本小题满分12分）如图(左)，边长为2的正方形ABCD中，E是
边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将
及
折起，使A、C重合于
点，构成如图(右)所示的几何体．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
∥平面
，求三棱锥
的体积
．

18．（本小题满分12分）已知，在
中，角
的对边分别是
，若

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）若
，
，

求
的最大值和最小值．

19．（本小题满分12分）在数列
、
中，
的前项和为
，点
、
分别在函数
及函数
的图象上．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知
侧面
， BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=
.

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）P是线段
上的动点，当平面
平面
时，求线段
的长；

（Ⅲ）若E为
的中点，求二面角
平面角的余弦值．

21．（本小题满分14分）已知圆C：
，直线
与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．

（Ⅰ）已知
，若
，求实数
的值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若直线
与
的交点为N，求证：
为定值．

又
，
………………………………………………4分

∴
…………………………………………………………6分

（Ⅱ）记“居民a被选中”为事件，所以基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）

共计10个基本事件………………………………………………………………10分

事件包含的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），共4个 ……11分

所以居民a被选中的概率
………………………12分

17．（Ⅰ）证明：(略) ………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）
∥平面
知：F是BC边上的中点，故有：

=
=
……………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）

得：
……………………………………2分

由正弦定理得：
……………………………………4分

即：
所以：
=
…………………………………………………6分

（Ⅱ）

由
得
……………………………………9分

当
即
时，

当
即
时，
………………………………12分

19．解：（Ⅰ）依题意，
………………………………………………………2分

求得
……………………………………………6分

（Ⅱ）

　　　　①

　②………………８分

①②得：

∴
…………………………………………12分

20．（Ⅰ）证明：
侧面
得

由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=
知C1CB=90°即
，

又
交于点A，故C1B⊥平面ABC…………………………………………4分

（Ⅱ）由已知
侧面
知面
，过C1作
,则
，因

故平面
平面
，求得
=
…………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
，

过P作
，

由三角形相似求得：
，又
，

∴
，故：
………………13分

21．解：

（Ⅰ）
即
，

因为点A在圆C上故直线
过圆心C
，得
…………………………………3分

（Ⅱ）设
，则
，即
坐标代入得：

化简得：

……8分

（Ⅲ）设
将
代入
并整理得：

则
为方程(*)的两根

∴

……………………………………………………10分