2014年11月

（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1．抛物线
的焦点坐标为 ▲ ．

2．经过点（－2，3），且与直线
垂直的直线方程为____▲_______．

3．以抛物线
的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．

4.已知无论
取任何实数，直线
必经过一定点，则该定点坐标为 ▲ ．

5.设直线
与圆
相交于、两点，且弦
的长为
，则
_____▲______．

6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 ▲ cm.

7. 如果规定：
，则
叫做
关于相等关系具有传递性，那么空间三直线
关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______.

8.双曲线
的一条渐近线方程为
，则
▲ .

9．已知椭圆
上一点P到左焦点的距离为
,则它到右准线的距离为　▲ .

10． 设和
为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于
内的两条直线，则平行于
；

（2）若外一条直线
与内的一条直线平行，则
和平行；

（3）设和
相交于直线
，若内有一条直线垂直于
，则和
垂直；

（4）直线
与垂直的等价条件是
与内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）．

11.椭圆
,
为椭圆的两个焦点且
到直线
的距离之和为
，则离心率= ▲ .

12.若点
在曲线
上，则
的最小值为 ▲ .

13.已知过点
作直线
与圆
：
交于
两点，且为线段
的中点,则的取值范围为 ▲ .

14．已知椭圆
的离心率
，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为
，则
▲ .

16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．

17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱
中，已知平面
，

且
．

(1)求证：
;

(2)在棱BC上取一点E，使得
∥平面
，求
的值．

18. （本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
．观测点
,
同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

19. （本小题满分16分）

（1）求右焦点坐标是
，且经过点
的椭圆的标准方程.

（2）已知椭圆
,设斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，
的中点为
，证明：当直线
平行移动时，动点
在一条过原点的定直线上.

（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

20. （本小题满分16分）在直角坐标平面中，
的两个顶点为
，平面内两点
同时满足：

为
的重心；
到
三点
的距离相等；
直线
的倾斜角为
.

（1）求证：顶点
在定椭圆上，并求椭圆的方程；

（2）设
都在曲线上，点
，直线
都过点并且相互垂直，求四边形
的面积
的最大值和最小值.

高二数学期中试卷参考答案 2014.11

17.证明：（1）在四边形ABCD中，因为BA=BC,DA=DC，所以
．

平面
，且

所以
．

(2)点E为BC中点，即
,

下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，却E为BC中点，所以
,

又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=
,DA=DC=1，所以
,

所以
，即平面ABCD中有，
．

因为
,所以
.

18.解：（1）曲线方程为
.

(2)设变轨点为
，根据题意可知：
得
，

得
(舍去)，
，
（舍去），
，
，
.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令．

19.解：（1）
.

（2）设直线
的方程为
与椭圆
的交点为
，则联立方程：
，得
，

即
.则
，

，
中点
的坐标为
。

的中点
在过原点的直线
上.

（3）作两条平行直线分别交椭圆于
和
，并分别取
的中点
，连接直线
；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于
和
，并分别取
的中点
，连接直线
，那么直线
和
的交点
即为椭圆中心。