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| 简介：
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分。请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.） 1． 不等式>0的解集为____ ▲____． 2． 若命题“对x∈R，x2＋4cx＋1>0”是假命题，则实数c的取值范围是___ ▲_____． 3．从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为____ ▲____． 4. 某人5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____． 5．如果执行如图所示的流程图，那么输出的S＝___ ▲_____. 6．已知△ABC的三个内角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 7．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|－a2＋a+2＞0}的概率为____ ▲____． 8． 已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m＝___ ▲____． 9．已知变量x、y满足，则的最大值______ ▲_______． 10． 已知正数x，y满足x＋ty＝1，t是给定的正实数．若＋的最小值为16，则正实数t的值是 ▲ ． 11．已知函数f(x)＝则满足f(x)≥1的x的取值范围是_______▲ _____． 12．已知椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M(,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲ ____. 13. 不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为______▲ ______． 14．设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是____▲ ______． 二、解答题（本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题14分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足. (1) 若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2) 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16．（本小题14分）.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1) 当a＝4时，求函数f(x)的最小值； (2) 若对任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，试求实数a的取值范围． 17．（本小题14分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： (1) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分； (3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率． 18．（本小题16分） 如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2. 过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)． (1) 求椭圆C的方程； (2) 设椭圆C的一个顶点为B(0，－b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积． 19．（本小题16分）某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm. (1) 试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数； (2) 若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y取得最大值？ 20．（本小题16分）设A1、A2与B分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切． (1) 求证：＋=1； (2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程； (3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．
二、解答题（本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题14分）解：(1) 由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.又a>0， 所以a 当a＝1时，1 由，得2 即q为真时实数x的取值范围是2 若p∧q为真，则p真且q真，…………………………………………………………………………………5分 所以实数x的取值范围是2 p是q的充分不必要条件，即pq，且qp. 设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则AB. 又A＝{x|p}＝{x|x≤a或x≥3a}, B＝{x|q}＝{x≤2或x>3}，则0＜a≤2，且3a>3， 所以实数a的取值范围是1 16．(本小题14分) 解：(1) 由a＝4，∴f(x)＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号． 即当x＝2时，f(x)min＝6.………………………………………………………………………………6分 (没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明） (2) x∈[1，4]，>6恒成立，即x∈[1，4]，x2＋2x＋a>6x恒成立． 等价于a>－x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立， 令g(x)＝－x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分 ∴a>g(x)max＝g(2)=4，即. ∴a的取值范围是a>4……………………………………………………………………………………14分 17.（本小题14分）解：(1) 分数在[70,80)内的频率为 1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3. 又＝0.03，补出的图形如下图所示．…………………………………………………………… 4分 平均分为：＝45×0.1＋55×0. 15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答：估计这次考试的平均分是71分．………………………………………………………………………………………8分 由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60＝6人；[50,60)分数段的人数为0.15×60＝9人； 在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m，n；[50,60)分数段抽取3人，分别记为a，b，c， 设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10种，则事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9种， 所以P(A)＝=0.9.……………………………………………………………………………………14分 18．（本小题16分）解：(1) 由椭圆定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a. 由题意|MF2|＝1，∴|MF1|＝2a－1.又由Rt△MF1F2可知(2a－1)2＝(2)2＋1，a>0，∴a＝2.又a2－b2＝2，得b2＝2. ∴椭圆C的方程为＋＝1.……………………………………………………………………………6分 (2) 直线BF2的方程为y＝x－. 由 ，得点N的纵坐标为. ………………………………………………………10分 又|F1F2|＝2， ∴S△F1BN＝××2＝……………………………………………………………………16分 （本小题16分）解：(1) F(x)＝， 即F(x)＝.…………………………………………………………………………2分 设折旧费z＝kx2，将(100,0.1)代入， 得0.1＝1002k 解得k＝……………………………………………………………………4分 ，所以C(x)＝2.3＋1.6x＋x2.………………………………………………………………………………6分 (2) 由题意得y＝，………………………………………………9分 ①当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8－2＝0.79(当且仅当x＝500时取等号)；………12分 ②当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减， 得ymax＝－－1.6＝0.75－<0.79.……………………………………………………………15分 答： 该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值．…………………………16分 20．（本小题16分） (1) 证明：已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是＋＝1. 因为A2B与圆C：x2＋y2＝1相切，所以＝1， 即＋＝1.…………………………………………………………………………………………4分 (2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为 kPA1·kPA2＝·＝＝－＋＝1，而＋＝1， 所以b2＝a2.………………………………………………………………………………………8分 结合＋＝1，得a2＝4，b2＝. 所以，椭圆E的方程为＋＝1.………………………………………………………………10分 (3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)． ① 若直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋m， 由y＝kx＋m代入＋＝1，得＋＝1. 化简，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ＞0)． ∴ x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝＋km＋m2＝. 因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0. 代入，得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0. 结合(1)的＋＝1，得m2＝1＋k2. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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