2014—2015学年度第一学期南昌市期中形成性测试卷

高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

B

D

B

B

C

A

B

D

A



第12题提示：如图，由双曲线的对称性知|OA1|＝|OB1|，|OA2|＝|OB2|，

∵|A1B1|＝|A2B2|，

∴|OA1|＝|OB1|＝|OA2|＝|OB2|，

不妨设双曲线的焦点在x轴上．

∵有且只有一对相交于O，所成角

为60°的直线A1B1和A2B2，

∴<≤. e＝＝，

∴

二、填空题（每小题5分，共20分）

13． x＋2y－3＝0 14．
15．6 16．

16提示：设
到直线
的距离为
，

则
的面积
，当
时取等号，则
，解得
或
；又点
在圆
内，则
，解得
。故实数的取值范围为

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）如图所示，点A，B，C的坐标分别是
区域D为
内部及其边界；……5分

（2）依题可知，直线
恒过定点
，………7分

因为分区域D为面积相等的两部分，

则直线经过线段BC的中点
，………9分

所以
。………………………10分

18．解:因为椭圆的焦点在轴上，且两曲线的焦点在同一坐标轴上，所以抛物线的焦点也在轴上，可设抛物线的方程为
………………2分

在抛物线上

………4分

抛物线的方程为
………6分

在椭圆上
① ………9分

又 2a = 4 ②

由①②可得
椭圆的方程是
………12分

19. （1）设AB中点D(x0,y0) ，则B（2x0－3，2y0+1）∵BD分别在两已知直线上，

∵
，………6分

（2）设A关于∠B平分线对称点A′(m,n)，

则有
得A′（1，7）……8分.

∵A′在BC上，∴BC方程即BA′方程为2x+9y-65=0，……………12分

20． (1)将圆方程配方知圆心
,半径

, …………………………………3分

由
得
，
.…………6分

（2）因直线
与圆C有公共点故

.……………………………………12分

21．解：(1) 显然是椭圆的右焦点，设

由题意

……………………………………1分

又离心率

，
………………………3分

故椭圆的方程为
……………………………………5分

(2) 由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为

联立直线与椭圆方程：
，化简得：
………6分

……………………………………7分

设
，则
………………………9分

坐标原点到直线的距离为

…………………10分

所以
，直线
的方程为
……………………………………12分

22． 解：（1）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．

当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．……………………………………2分

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有

tan∠MBA＝，即－＝，

化简可得，3x2－y2－3＝0．

而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，……………………………………………5分

综上可知，轨迹C的方程为x2－＝1（x＞1）．……………………………………6分

（2）由消去y并整理，得x2－4mx＋m2＋3＝0．（*）……………8分

由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴解得m＞1，且m≠2．

∵m＜2，∴1＜m＜2． …………………………………………………10分

设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有

xR＝2m＋，xQ＝2m－，

∴＝＝＝＝－1＋．

由1＜m＜2，得1＜－1＋＜7．

故的取值范围是(1，7)．…………………………………………………12分