2014—2015学年度第一学期南昌市期中形成性测试卷

高二数学(文科甲卷)参考答案及评分意见

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

A

A

D

A

D

B

C

B

D



二、填空题（每小题5分，共20分）

13．
或
14．
15．
16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）因为直线OC的斜率为3且

所以直线
的斜率为
………………3分

所以直线
的方程为
：

化简得：
………………5分

（2）因为OC∥
，所以
………7分

又
所以直线
的方程为：

y=3(x-3) ………………8分

联立方程
解得：

所以
…………………………………………10分

18．解：（1）设圆
的圆心坐标为
，

依题意，有
， ………………2分

即
，解得
， ………………4分

所以圆
的方程为
. ………………6分

（2）依题意，圆
的圆心到直线
的距离为
， ………………8分

所以直线
符合题意. ………………9分

另，设直线
方程为
，即
，则
，

解得
， ………………10分

所以直线
的方程为
，即
. ……11分

综上，直线
的方程为
或
.………………12分

19．解：（1）因为
是直角三角形，所以外接圆的圆心是
的中点

半径为
，所以圆
的方程是：

（2）
表示点
与
连线的斜率

由斜率与倾斜角的关系可知，当直线
与圆
相切时，

取得最大值与最小值

设直线
方程为：
即：
，

则

解得：
或
，所以
的最大值为，最小值为

20.（1）解：由已知，抛物线
的焦点坐标为
. ………… 1分

设过点
的直线
的方程为
，

由
得
. ……………… 2分

设
，
，则
. ……………… 3分

因为与
中点的连线垂直于轴，所以
，即
.…… 4分

解得
，
. ……………… 5分

所以，直线
的方程为
. ……………… 6分

（2）证明：设直线
的方程为
.

由
得
， ……………… 7分

则
，且
，即
，且
.

. ……………… 8分

因为
关于轴对称，所以
，直线
，

又
，
，所以
，

所以
.……………… 9分

因为
,又
同号,
，所以
，… 10分

所以直线
的方程为
，…… 11分

所以，直线
恒过定点
. ……………… 12分

21. (1)解：设椭圆C的方程为
（＞
＞
）， ……1分

抛物线方程化为
，其焦点为
， ………………2分

则椭圆C的一个顶点为
，即
………………3分

由
，∴
，

所以椭圆C的标准方程为
………………6分

(2)证明：椭圆C的右焦点
， 设
，显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，代入方程
并整理，

得
………………7分

∴
，
………………8分

又
，
，
，
，

而
，
，

即
，

∴
，
， ……………10分

所以
……………12分

22.解：(1)设椭圆C的方程为
(a>b>0)， ……1分

依题意得，b=4，
，又a2=b2+c2， ……3分

∴a=5，b=4，c=3， ……4分

所以椭圆C的方程为
. ……5分

(2)依题意得，
，直线OP的方程为 y=x， ……6分

因为
，点Q到直线OP的距离为
， ……7分

所以点Q在与直线OP平行且距离为
的直线l上， ……8分

设l：y=x+m，则
解得m=±4， ……9分

当m=4时，由
，消元得41x2+200x<0，即
，x∈Z，∴x=―4，―3，―2，―1，相应的y也是整数，

此时满足条件的点Q有4个， ……11分

当m=－4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个.

综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个. ……12分