1.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 (　　 )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2. 抛物线
的焦点为 （ ）

A.（0，2） B.（4，0） C.
D.

3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)

A．a，a＋b，a－b　 　　 B．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b

4．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为 (　 　)

A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0

5.命题p：不等式
的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A＝B”是“sinA＝sinB”成立的必要非充分条件，则 ( 　 　)

A．p真q假 B．p且q为真 C．p或q为假 D．p假q真

6. 若向量a＝(1，λ，1)，b＝(2，－1,1)且a与b的夹角的余弦值为
，则λ等于 (　 　)

A．2 B．－2 C．－2或
D．2或

7.若点的坐标为
，是抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动时，使
取得最小值的
的坐标为（ ）

A
B
C
D

8．已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么(　　)

A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1⊥l2，且l2与圆O相切

C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1⊥l2，且l2与圆O相离

第Ⅱ卷 (非选择题共110分)

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

9.已知下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).

14. 已知P是椭圆
上的点，
、
分别是椭圆的左、右焦点，若
，则△
的面积为____________.

三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足 若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

17.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆M上．

(1)求圆M的方程；

(2)若圆M与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

18.已知动点P与平面上两定点
连线的斜率的积为定值
.

（1）试求动点P的轨迹方程C.

（2）设直线
与曲线C交于M、N两点，当|MN|=
时，求直线l的方程.

19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；

20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是：1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．

高级中学2014-2015学年第一学期期中考试

高二数学（理科）答题卷

一、选择题（每题5分，8题共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、填空题（每题5分，6题共30分）

9. 10.

11. 12.

13. 14.

三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15. （本小题满分12分）

16. （本小题满分12分）

17. （本小题满分14分）

18. （本小题满分14分）

19. （本小题满分14分）

20.（本小题满分14分）

高级中学2014-2015学年第一学期期中考试

高二数学（理科）答题卷

16 .（本小题满分12分）

(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE.

因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG………………………5分

(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE.

如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)…………7分

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1)．……………………….9分

设直线BC与平面ABF所成角为α，则

sinα＝|cos〈n，〉|＝||＝…………………………………11分

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为. ……………………..12分

17. （本小题满分14分）

解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2 ，0)，(3－2 ，0)

故可设M的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2 )2＋t2，解得t＝1.∴圆M的半径为＝3.

∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9…………………………………..6分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：



消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.

因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，∴2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0.　②

由①②，得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1……………………………………14分

18. （本小题满分14分）

（1）解：设点
，则依题意有
，…………………3分

整理得
由于
，所以求得的曲线C的方程为
………………………………………6分

（Ⅱ）由

解得x1=0, x2=
分别为M，N的横坐标）.………………………10分

由

……………………………………………………………………12分

所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．

(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为. ………………………………………6分

(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．

设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则

即

不妨令x＝，可得m＝(，0，)．

同样的，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则

即

不妨令y＝，可得n＝(0，，)．………………………………………10分

于是cos〈m，n〉＝＝＝，

从而sin〈m，n〉＝.

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意，得

解得a2＝4，b2＝2.

所以椭圆C的方程为＋＝1. ………………………………………4分

(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，)，

则直线PB的方程为y－＝k(x－1)．

由

得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0. ……6分

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则

xB＝1·xB＝，

同理可得xA＝.

则xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝.

所以kAB＝＝为定值．………………………………………9分

(3)由(2)，设直线AB的方程为y＝x＋m.

由得4x2＋2mx＋m2－4＝0.

由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得m2<8.

此时xA＋xB＝－，xA·xB＝.

点P到直线AB的距离d＝，

|AB|＝

＝ .

∴S△PAB＝d·|AB|＝·＝ 

当且仅当m2＝8－m2即m2＝4时，Smax＝.…………………………………14分