2014-2015学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1

A. AB B. BA C.A=B D.A∩B=(

2．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为

A.－1 B. 0 C. D.1

3．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是

A. (1－，2) B. (0，2) C. (－1，2) D. (0，1+)

4．设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，

△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

A. B.  C. D.

5.“
”的含义是（ ）

A. a，b不全为0 B. a，b全不为0

C. a，b至少一个为0 D. a不为0且b为0，或b不为0且a为0

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A.6

B.9

C.12

D.18

7．已知ω>0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )

A. B. C. D.

8．数列
满足
，
，记数列
前n项的和为Sn，若
对任意的
恒成立，则正整数的最小值为 （ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

第二部分 非选择题(共110分)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共计30分。

9. 不等式2x2-x-1>0的解集是

10. 把89化为二进制的结果是

11. 如右图所示的程序框图输出的结果是_______

12. 在正三角形
中，是
上的点，
，则

13. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差

14. 曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数 a2 (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F
PF
的面积不大于
a
。

其中，所有正确结论的序号是

三、解答题：本大题共6个小题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

15. （本小题满分12分） 已知函数
．

（1）求
的值；

（2）设
，若
，求
的值．

16．（本小题满分12分）16．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：

求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数.

（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.

（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？

17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。

（1）若
，求证：平面
平面
；

（2）点
在线段
上，
，试确定t的值，

使
平面
.

18．（本小题满分14分）等差数列
中，
，前项和为
，等比数列
各项均为正数，
，且
，
的公比

（1）求
与
；

（2）求

19．（本小题满分14分）已知双曲线
的两条渐近线分别为
.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，
为坐标原点，动直线
分别交直线
于
两点（
分别在第一、四象限），且
的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线
有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。

20. （本小题满分14分）设函数

（1）若
在[1,+∞]上是单调递减函数，求实数的取值范围.

（2）设
，若不等式
对一切
恒成立，求实数k的取值范围.

2014-2015学年度第一学期

高二级数学科期中考试答卷

成绩：

题号

选择题

填空题

15

16

17

18

19

20

总分



得分





















注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

答 案

（2）解：因为
…………5分

………6分
．………7分

所以
，即
． ①

因为
， ②

由①、②解得
．…………………9分

因为
，所以
，
．………10分

所以

……………11分

．……12分

16.（1）
……4分

（2）可利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重：

……8分

（3）P=
……12分

17.解：（1）连BD，四边形ABCD菱形，

∵AD⊥AB， ∠BAD=60°

△ABD为正三角形， Q为AD中点，

∴AD⊥BQ …………1分

∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ ……2分

又BQ∩PQ=Q …………3分

∴AD⊥平面PQB，……4分

AD平面PAD …………5分

∴平面PQB⊥平面PAD …………6分

（2）当
时，
平面
……7分 连AC交BQ于N……9分

由
可得，
，
……10分

平面
，
平面
，平面
平面
，

……12分

即：

……14分

18．解：（I）由已知可得
……2分

解直得，
或
（舍去），……4分

……5分

……7分

（2）证明：
……9分

……14分

19．解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和
.

所以
,……3分

从而双曲线E的离心率
.……4分

(2)由(1)知,双曲线E的方程为
.

设直线
与x轴相交于点C.

当
轴时,若直线
与双曲线E有且只有一个公共点,

则
, ……9分

又因为
的面积为8,

所以
.

此时双曲线E的方程为
.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为
.……8分

以下证明:当直线
不与x轴垂直时，双曲线E：
也满足条件.

设直线
的方程为
,依题意,得k>2或k<-2.

则
，记
.

由
,得
,同理得
.由
得,
即
.

由
得,
.因为
,

所以
,

又因为
.所以
,即
与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与
有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为
.……14分

20. （1）令
，要使
在[1,+∞）上是单调递减等价于
由
得1-a+8>0
a<9

由u(x)在
上是增函数，即对
,
恒成立，解得
，所以-1≤a≤9……6分

（2）由条件f(x)f(y)=(
+2，令xy=t，由x+y=k，则t

令g(t)=f(x)f(y)=
,t∈(0,

当1-
g(t)单调递增，则
，条件不成立.

当1-
时，
，当且仅当t=
取到等号.

时，即0

且

②
时,则

所以0