2014-2015学年度第一学期高二级文科数学期中考试试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

第一部分选择题(共 50 分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，

则图中阴影部分表示的集合是

A．
B．
C．
D．

2. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是

A数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.

B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定

D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

3.已知，为两条不同的直线, ,
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.
B.
C．
D．

4.用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是(　　)

A．7 B．5 C．4 D．3

5.函数
的零点所在的区间为

A．（0，1） B．（1，2）

C.（2，3） D．（3，4）

6.如下右图所示，为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在

一个周期内的图象，则这个函数的一个解析式为

A．y＝2sin(＋)－1 B．y＝2sin(＋)－1

C．y＝2sin(2x＋)－1 D．y＝2sin(2x＋)－1

7. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为

8．运行如图的程序框图,输出的结果是

A. 510 B. 1022 C. 254 D. 256

9.设实数x, y满足
,则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.在R上定义运算
若对任意
，不等式

都成立，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第二部分非选择题 (共 100 分)

二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．

11. 数列
是等差数列，
，则前15项和
_*___

12.在
中，
为
边的中点，设
,

, 则
___*___(注意：手写向量，小写字母上面要加箭头)

13、设不等式组
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是___*___

14.圆C：
的圆心是__*___，与圆C关于直线
对称的圆的方程是__*___

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

的面积是
角
的对边分别是
,

(1) 求
的值； (2) 分别求
的值.

16．（本题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

17.（本题满分14分）

如图，五面体EF-ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF//AB，EH丄平面 ABCD，AB=2，EF=EH=1.

（1）证明：EH//平面ADF;

(2) 证明：平面ADF丄平面ABCD;

(3) 求五面体EF—ABCD的体积.

18. （本题满分14分）

已知等差数列
的首项
=1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和为
，并证明：

19． （本题满分14分）

已知两点
、
，点为坐标平面内的动点，满足
．

（1）求动点
的轨迹方程；

（2）若点
是动点的轨迹上的一点，
是轴上的一动点，试讨论直线
与圆
的位置关系．

20．（本题满分14分）

已知函数
，

（1）若函数
满足
，求实数的值；

（2）若函数
在区间
上总是单调函数，求实数的取值范围；

（3）若函数
在区间
上有零点，求实数的取值范围.

2014-2015学年度第一学期

高二级文科数学期中考试答案

一、选择题：CBDBC DBA AC

二、填空题：11.30;12.

13.题目中
表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在

的位置为正方形中四分之一扇形的面积部分，因此
，

14.(1/2,- 1);设圆心(1/2,- 1)关于直线
的对称点为
解此方程组，得
，所以与圆C关于直线
对称的圆的方程是
（写成
也是对的）

三、解答题

15.解：（1）

……3分

……………… 6分

（2）

中，
……… 8分

代入解得
…… 9分

由余弦定理得：
………11分

………12分

16． 解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

17(本题满分14分)

(1)由已知得

取AD的中点G,,连结GH,GF…………………………..1分

则
………………………………2分

…

(2)
,且FG//EH………………………………7分

………………………………9分

…………………………….10分

（2）在面ABCD内过H作RT//AD

如图，则面RTE//面ADF,ADF—RTE为三棱柱

由（1）及HGAD得GH为该柱体的高，………….12分

（不排除其它方法，酌情分布给分）

18．（本题满分14分）

（1）解：设等差数列
的公差为，

∵
，
…………4分

整理：
．

∴an=2n-1 （
）…………7分

（2）
…………9分

∴
…………10分

=
…………12分

∵
，数列
是递增数列．∴
． …………13分

∴
． …………14分

19.（本题满分14分）

（1）解：设
，则
，
，
．…………3分

由
，得
，………………5分

化简得
．所以动点的轨迹方程为
．…………………6分

（2）解：由
在轨迹
上，则
，解得
，即
．…………………7分

直线
的方程为
，即
． ……………9分

圆
的圆心
到直线
的距离

，………………10分

令
，解得
；………………11分

令
，解得
；………………12分

令
，解得
．………………13分

综上所述，当
时，直线
与圆
相交；

当
时，直线
与圆
相切；

当
时，直线
与圆
相离．…………14分

20. （本题满分14分）

(1)
知函数
关于直线
对称……………………1分

……………………2分

（2）①

在区间
上单调递减……………………3分

②
即
时，
在区间
上单调递增……………………4分

③
即
时，
在区间
上单调递减……………………5分

④

在区间
上单调递减……………………6分

综上所述，
或
，
在区间
上是单调函数…………………7分

（3）解法1：

当
时，函数
的零点是

，
在区间
上没有零点

当
时，…………………8分

①若
在区间
上有两个相等的实根，则
且
即

当
则

，

，
………9分

②若
在区间
上有一个实根，则
，即

得
…………………10分

③若
在区间
上有两个的不同实根，则有

或
解得
或空集…………………12分

综上
，检验

的零点是0，2，其中2
，符合；

综上所述
…………………14分

解法2

当
时，函数
在区间
上有零点

在区间
上有解

在区间
上有解，问题转化为求函数
在区间
上的值域……8分

设
，
，则
……9分

设
，可以证明当
递减，
递增

事实上，设
则
，

由
，得
，
，即
． ……10分

所以
在
上单调递减．同理得
在
上单调递增，……11分

又