注意事项:

1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{0,2,a}，B＝{1,a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则实数a的值为

A．0 B．1 C．2 D．4

2．若一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为

A．
B．(
C．
D．(

3．函数
的零点个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

4．给出下列四个命题：

（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；

（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行.

其中正确命题的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知过点
和
的直线与直线
平行，则实数的值为

A．
B．
C． D．

6．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上的点到点(－2,－2)的最小距离为

A．9 B．7 C．5 D．3

7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，BC1(AC，

则顶点C1在底面ABC上的射影H必在

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

8．已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为

A．5 B．4 C．2 D．1

9．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注

水，容器中水面的高度
随时间变化的可能图象是

10．右面程序框图的输出结果为6，那么判断框① 表示的“条件”应该是

A．i＞7? B．i＞6?

C．i＞5? D．i＞4?

11．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线段长的最小值为

A． 1 B．2 C. D．3

12．如右图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为

A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．4:3

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)

13．将直线
绕原点逆时针旋转90(，则所得到的直线方程为 ( ．

14．若某几何体的三视图（单位：
）如右图所示，则该几何体的表面积为 (
．

15．三棱锥
中，
底面
，∠ACB＝90°，且PA＝AC，则二面角P―BC―A的大小为 ( ．

16．如图，在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
．设
是
内一点．定义
，其中、、分别是三棱锥
、
、
的体积．若
，且
恒成立，则正实数的最小值为 ( ．

三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．(本题满分10分)

在(ABC中，角为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量
，且
＝．

(1)求角的大小；

(2)若
，求(ABC的面积
．

18．(本题满分12分)

已知平面区域
恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖．

(1)试求圆C的方程；

(2)若斜率为3的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA(CB(C为圆心)，求直线l的方程．

20．(本题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．

(1)设bn＝an－2，证明：数列{bn}为等比数列；

(2)求数列{nbn}的前n项和．

21．(本题满分12分)

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于

13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五

组；第一组
,第二组
，…，第五组

[17,18]，右图是按上述分组方法得到的频率分布

直方图．

(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，

求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，

且已知
，求事件“|m－n|＞1”的概率．

22．(本题满分12分)

在平面直角坐标系xoy中，以C(1,(2)为圆心的圆与直线
相切．

(1)求圆C的方程；

(2)是否存在斜率为1的直线
，使得以
被圆C截得的弦AB为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

四．附加题(共2个小题，满分15分)

23．(本题满分5分)

如图所示，正方体
的棱长为1,

分别是棱
,
的中点，过直线
的平面分别与

棱
,
交于M，N，求四棱锥C((MENF的体积．

24．(本题满分10分)

已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．

(1)判断直线l与圆C的位置关系；

(2)当直线l与圆C相交时，求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程．

高二数学(理科)参考答案及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分)

DBAAB DACBC CA

二．填空题(每小题5分，共20分)

13．x＋3y＝0 14．7( 15．45( 16．1

三．解答题(本大题共6小题，共70分)

17．解：(1)∵
＝cos2A，∴cos2A＝．

……5分

(2)
,
及
,

, 即
(舍去)或

故S＝bcsinA＝． ……10分

18．解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，

故圆心是(2,1)，半径是，

所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. ……6分

(2)设直线l的方程是y＝3x＋m．

因为CA(CB，所以圆心C到直线l的距离是，

即＝，解得m＝0或m＝－10．.

所以直线l的方程为y＝3x或y＝3x－10． ……12分

19．(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.

在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，

∴H为AC的中点．

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.

又EH(平面BDE，且PA(平面BDE，

∴PA∥平面BDE． ……6分

(2)证明：∵PD(平面ABCD，AC(平面ABCD，∴PD(AC．

由(1)可得，DB(AC．

又PD∩DB＝D，故AC(平面PBD． ……12分

20．(1)证明：∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，由题意得a1－2＝－1，

∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝．

又∵＝＝，

∴{bn}是首项为－1，公比为的等比数列． ……6分

(2)解：由(2)得bn＝－()n-1，∴nbn＝－n·()n-1，

设Tn＝1＋2·＋3·()2＋…＋n·()n-1， ①

∴Tn＝＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n， ②

①－②得Tn＝1＋＋()2＋…＋()n-1－n·()n，

∴Tn＝－n·()n，∴Tn＝4－(n＋2)·()n-1，

∴数列{nbn}的前n项和为(n＋2)·()n(1－4． ……12分

22．解：(1)设圆的方程为
，

依题意得，所求圆的半径
,

∴所求的圆方程是
． ……4分

(2)设存在满足题意的直线，设此直线方程为
，

设直线与圆C相交于A，B两点的坐标分别为
，

由OA⊥OB，即
． ……7分

由
消去y得

，

所以
． ……9分

解得
．

经检验m1＝－4，m2＝1使(＞0，都符合题意，

∴存在满足题意的直线为y＝x－4或y＝x＋1． ……12分

四．附加题(本大题共2小题，共15分)

23．解：V＝2VC((MNF＝2VN(MFC(＝2×S(MFC(×1＝××＝． ……5分

24．解：(1)∵直线l过定点P(3,1)，且P与圆心C(1,2)的距离|PC|＝<5,

∴直线l一定过圆内定点P，∴直线l与圆C一定相交． ……5分

(2)由平面几何知识可知，当直线l过定点P且与PC垂直时，直线l被圆C所截得的弦长最短，

而kPC＝－，∴此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)．

故弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0．

最短弦长为d＝2＝4． ……10分

说明：各题如有其它解法可参照给分．

高二数学(理科)双向细目表

序号

内容

选择

填空



解答

小计



1

必修1

10





10



2

必修2

42

17

36

95



3

必修3

5



12

17



4

必修4





10

10



5

必修5

3

3

12

18



6

合计

60

20

70

150





说明：

1．第1题是课本必修1习题改编．

2．第2题是课本必修2习题改编．

3．第4题是课本必修2习题改编．

4. 第8题是课本必修2习题改编．

5．第17题是课本必修4复习题改编．

6. 第24题是课本必修2习题改编．