2014 年秋泽林高中高二第一次月考数学试卷

考试时间：2014年10 试卷满分150分

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.已知集合={0,1,2},则集合

中元素的个数是( )

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9

2.当
时,则下列大小关系正确的是( )

A 、
B 、

C 、
D 、

3. 一个样本的容量为
,分成
组,已知第一组、第三组的频数分别是
、
,第二、五组的频率都为
,则该样本的中位数在( )

A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组

4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若
,
,
,则
( )

(A) (B)
(C)
(D)

5.在下列说法中,正确的是( )

A.在循环结构中,直到型先判断条件,再执行循环体,当型先执行循环体,后判断条件

B.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

C.从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本,现采用系统抽样方法应先剔除8人,则每个个体被抽到的概率均为

D.如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数,那么这组数据的平均数改变,方差不变

6.设M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0),若
,则点B的坐标应为( )

A.(-1,3,-3) B.(1,-3,3) C.(9,1,1) D.(-9,-1,-1)

7.用秦九韶算法求多项式

,当
时,
的值为 ( )

A.27 B.86 C. 262 D.78

泽林高中高二数学试卷（共4 页）第1页

8.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组,相关数据见下表:

相关人员数

抽取人数



公务员

35

b



教师

a

3



自由职业者

28

4



则调查小组的总人数为 ( )

A.84 B.12 C.81 D.14

9.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:



则7个剩余分数的方差为( )

(A)
(B)
(C)36 (D)

10.已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是
,则满足条件的直线L共有( )条.

A.3 B.2 C.1 D.4

二．填空题（本大题共7小题，每题5分，前两题只文科做其余文理都做分）

11.(本题只文科做)将101101(2) 化为十进制结果为____ ;再将该数化为八进制数,结果___

12.（本题只文科做）如下框中所示的程序回答以下两个问题:

①若输入X=8 ，则输出K=_________?? ?? ?

②若输出K=2 ，则输入X 的取值范围是____



泽林高中高二数学试卷（共4 页）第2页

13.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),

随机选择了n位中学生进行调查,根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列,

又第一小组的频数是10,则
_______.

14.执行如图所示的程序框图,如果输出
,那么判断框内应填入的条件是_______.

15．当实数
满足
时,
恒成立,则实数的取值范围是 .

16. 已知直线
交于A、B两点，且
，其中O为原点，则实数a的值为 .

17．.若关于
的方程组
有解,且所有的解都是整数,则有序数对
的数目为_____________.

三．解答题（本大题共6小题，共75分）

18.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,

并在图中以表示.

(Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求的值;

(Ⅱ)(文科做)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;

(Ⅲ)(理科做）当
时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.

19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013



年份代号

1

2

3

4

5

6

7



人均纯收入

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9



(Ⅰ)求关于的线性回归方程;（已知b=0.5）

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

泽林高中高二数学试卷（共 4 页）第3页

20．（本小题满分12分）甲，乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有2班公共汽车，它们开车的时刻分别是7：30和8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的）

21.（本小题文科14分，理科12分）已知方程
的曲线是圆C

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)当
时,求圆C截直线

所得弦长;

(III) 若圆C与直线
相交于
两点,且以
为直径的圆过坐标原点O,

求的值?

22.（本小题文科14分理科13分）.某公司今年初用25万元引进一种新的设备,设备投入运行后,每年销售收入为21万元?已知该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的和
的信息如下图?

(1)求
;

(2)该公司引进这种设备后,第几年后开始获利、第几年后开始亏损?

(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?(
)

23．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知
平面
,
,△
是正三角形,
,且是
的中点.

(1)求证:
平面
;

(2)求证:平面
平面
;

(3)求平面
与平面
所成锐二面角的大小.

泽林高中高二数学试卷（共 4 页）第4页

泽林高中十月月考数学答案

1.C 2. C 3. B 4. D 5. D 6. C 7. C 8. A 9. B 10.B

11. 45,55 12. 4,(28,58] 13.100 14.K<=7 15. 

16. 2或－2 17. 32

17题〖解〗解:因为
的整数解为

,

所以这八个点两两所连的不过原点的直线有
条,过这八个点的切线有
条,每条直线确定了唯一的有序数对
,所以有序数对
的数目为
.

三．解答题

18. (Ⅰ)解:依题意,得
,

解得

(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件,

依题意
,共有10种可能

由(Ⅰ)可知,当
时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,

所以当
时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有8种可能

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率

(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件,

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率
.

19． 0.5

20.〖解〗解析1:(Ⅰ)由所给数据计算得

,

,

,

,

,

所求回归方程为
.

(Ⅱ)由(1)知,
,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号
代入(1)中的回归方程,得

,

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

21.〖解〗解(1)

>0

(2)设

圆心到直线的距离为

圆C截直线

所得弦长为

(3)以
为直径的圆过坐标原点O, 即

设
则

由
整理得

经检验,此时

22．〖解〗(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的

等差数列,并求得:

(2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则:

由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得:

又∵n
,所以n=2,3,4,……18.

∴该公司从第2年开始获利;第19年后开始亏损?

(3)年平均收入为
=20-

当且仅当n=5时,年平均收益最大.

答:这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大?

23.〖解〗解:(1)解:取CE中点P,连结FP、BP,

∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=

又AB//DE,且AB=
∴AB//FP,且AB=FP,

∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP

又∵AF平面BCE,BP平面BCE,

∴AF//平面BCE

(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD,DE//AB,

∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,

∴DE⊥AF.又AF⊥CD,CD∩DE=D,

∴AF⊥平面CDE

又BP//AF,∴BP⊥平面CDE.又∵BP平面BCE,

∴平面BCE⊥平面CDE

(3)法一、由(2),以F为坐标原点,

FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,

则C(0,—1,0),

显然,
为平面ACD的法向量.

设面BCE与面ACD所成锐二面角为

则

.

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°

法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.

则
.

由AB是
的中位线,则
.

在
,
.

,又
.

即平面BCE与平面ACD所成锐二
面角为45°