湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015学年高二上学期期中联考数学理试题

时　　间：120分钟 分值：150分　　　　 命题牵头学校：宜城一中

命题教师：

学　　校：曾都一中　　枣阳一中　　襄州一中　　宜城一中

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．把
化为十进制数为（ ）

A．60 B．68 C．70 D．74

2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）

A．＝－2x＋9.5 B．＝2x－2.4 C．＝0.4x＋2.3 D．＝－0.3x＋4.4

3 正方体
，棱长为4，点
到截面
的距离为( )

A．
B．
C．
D．

4．若直线
与
互相垂直，则a等于（ ）

A. 3 B. 1 C. 0或
D. 1或－3

5．在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 (　　)

A．28＋6 B．30＋6

C．56＋12 D．60＋12

7．下列说法中，正确的个数是（ ）

(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.

(2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变.

(3)一个样本的方差s2=
[(x
一3)2+(X
—3) 2+…+(X
一3) 2]，则这组数据总和等于60.

(4) 数据
的方差为
，则数据
的方差为
.

A. 4 B. 3 C .2 D. 1

8．如图甲所示，三棱锥
的高
，
，
，M、N分别在
和
上，且
，
，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥
的体积y与
的变化关系，其中正确的是（ ）

9．集合
,集合
，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a,掷第二颗骰子得点数为b,则
的概率等于（ ）

A.
B.
C.
D.

10．函数
的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（ ）

A．
B．
C．2 D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）

11．设
，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的
值_______

12．已知
满足约束条件
，若目标函数
取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
_______

13．把正方形
沿对角线
折起,当以
四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面
所成的角的大小为______________

14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为
，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是_______

15．
是实数，则
的最小值是

三、解答题：（大题共6小题，共75分）

16．（满分12分）某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率；并补全频率分布直方图；

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分。

17．（满分12分）如图，在棱长均为4的三棱柱
中，
、
分别是BC和
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）若平面ABC⊥平面
，
，求三棱锥
的体积

18．（满分12分）已知直线l经过直线
与
的交点.

（1）点
到直线l的距离为1，求l的方程；

（2）求点
到直线l的距离的最大值。

19．（满分12分） 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球
个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是

（1）求
的值

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为
，第二次取出的小球标号为

（i）记“
”为事件
,求事件
的概率；

（ii）在区间[0，2]内任取2个实数
，求事件“
恒成立”的概率.

20．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
．

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，

试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

21．（满分14分）已知圆O：
，直线
.

（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=
时，求k的值.

（2）若
，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；

（3）若EF、GH为圆O：
的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，
），求四边形EGFH的面积的最大值。

2014—2015学年上学期高二期中考试数学（理）参考答案

一、选择题 BCBDD BAADD

二、填空题 11、2 12、2或
13、
14、

15、

三 解答题

16、(1) 因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：

f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3. ………………………………（3分）

其频率分布直方图如图所示．

…………………………（5分）

(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：

(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.

所以，估计这次考试的
合格率是75%. ………………………………………（8分）

利用组中值估算这次考试的平均分，可得：

45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6 ………………………………………（10分）

＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71…………………（12分）

17、(1)证明：连结
，在三棱锥
中，
分别是
的中点，

，
四边形
为平行四边形，……………（2分）

//

四边形
为平行四边形，
，………………（4分）

因为
面
，
面
，
面
……………（6分 ）

(2)在
ABC中，因为
,D为BC中点，
AD
………………… (8分)

因为平面ABC
平面BCC
B
,平面ABC
平面BCC
B
=BC ，AD
面ABC

AD
平面BCC
B
即AD是三棱锥A—BCB
的高 ……………………………（10分）

V=
S
AD=
…………………………………………（12分）

18、 方法一：（1）联立
解得交点
， ………………………… 1(分)

若直线l的斜率不存在，即方程为
， ……………………………3(分)

此时点A到直线l的距离为1，满足；

若直线l的斜率存在，设方程为
，即
，

∴
，解得
，直线方程为
； …………………………5(分)

综合得：直线l的方程为
或
. ………………………………6 (分)

（2）若直线l的斜率不存在，即方程为
，距离为1 ……………………7(分)

点A到直线l的距离为
， ……8 (分)

显然
时，d有最大值，且

当且仅当
取等号 ……………………………………………………10（分）

∴点A到直线l的距离的最大值为
…………………………………… （12分）

方法二：（1）设经过
和
的交点的直线方程为：

………………（2分）

（
）+（

又因为点（1,0）到
距离为1

………………（4分）

故
或

所以直线方程为
或
…………………………（6分）

（2）由
和
得交点B(2，1)………………（9分）

依题意AB和直线
垂直距离最大。又A(1，0)

距离最大值为
………………………………（12分）

19、解：（1）依题意
，得
. ……………………………………（3分）

(2)（i）记标号为0的小球为
，标号为1的小球为
，标号为2的小球为
，则取出2个小球的可能情况有：

，

共12种，其中满足“
”的有4种；
，

所以所求概率为
…………………………………7（分）

（ii）记“
恒成立”为事件B，

则事件B等价于“
恒成立”，…………………………………………（8分）

（
）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
＝
,……………………………………（9分）

而事件B构成区域
，

所以所求的概率为
……………（12分）

20．解：(1)取AD中点M，连接MO，PM，

依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，

则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角……（2分）

∵ PO⊥面ABCD，

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝

设AB＝a，AO＝
a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝
a，

tan∠PMO＝
＝
．

∴∠PMO＝60°．
………………………（4分）

（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．…………（6分）

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．

又OE
平面PBD， ∴ AO⊥OE．

∵OE＝
PD＝

＝
a，

∴tan∠AEO＝
＝
．……………………（8分）

(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN

∴平面PMN⊥平面PBC．……………………（10分）

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．

∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．………（12分）

F是AD的4等分点，靠近A点的位置 ………………………………（13分）

21、解：（1）
点O到
的距离
………………………2（分）

∴
=
·


…………………………（4分）

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设

其方程为：

即：