江苏省盐城中学2013—2014学年度第一学期期末考试

高二年级数学（理科）试题 2014.1

命题人：蔡广军 盛维清 审核人：徐瑢

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．

一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．“若
，则
”的逆命题是 ▲ .

2．是虚数单位,复数
= ▲ .

3．抛物线
的准线方程为
，则焦点坐标是 ▲ .

4．如果执行右边的程序框图，那么输出的
▲ ．

5. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是 ▲ ．

6. 已知平面的法向量为
，平面
的法向量为

，若平面与
所成二面角为
，则

▲ .

7．曲线
上在点
处的切线方程为 ▲ .

8．试通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为
”，猜测关于球的相应命题是“半径为的球内接长方体中，以正方体的体积为最大，最大值

为 ▲ ”.

9. 长方体
中，
，
，
，则
与
所成角的余弦值

为 ▲ .

10. 复数满足
是虚数单位)，则
的最大值为 ▲ .

11. 已知函数
在
处有极值，则该函数的极小值为 ▲ .

12. 已知椭圆
的离心率是
，过椭圆上一点
作直线
交椭圆于
两点，且斜率存在分别为
，若点
关于原点对称,则
的值为 ▲ .

13. 如图，双曲线
的两顶点为
、
，虚轴

两端点为
、
，两焦点为
、
，若以
为直径的圆内切于

菱形
，切点分别为、、
、，则双曲线的离心

率e＝ ▲ .

14. 已知
，若
在
上恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题12分）

已知抛物线
(
)的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于5，过作
垂直于轴，垂足为，
的中点为
.

(1) 求抛物线方程；

(2) 过
作
⊥
，垂足为
，求直线
的方程．

16．（本小题12分）

如图，已知正方体
的棱长为2，点为棱
的中点．

求：（1）
与平面
所成角的正弦值；

（2）二面角
的余弦值．

17．（本小题13分）

已知数列
的前项和
（
）．

（1）计算数列
的前4项；

（2）猜想
并用数学归纳法证明之．

18．（本小题13分）

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系
．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．

（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额
（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？

19．（本小题15分）

如图,椭圆
的左焦点为
,右焦点为
,离心率
.过
的直线交椭圆于、两点，点在轴上方，且
的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）当
、
、
成等比数列时，求直线
的方程；

（3）设动直线
与椭圆有且只有一个公共点,且与直线
相交于点
.试探究:在坐标平面内是否存在定点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标；若不存在,说明理由.

20．（本小题15分）

已知函数
．

（1）当
时，
，

①求
的单调增区间；

②当
时，讨论曲线
与
的交点个数．

（2）若
是曲线
上不同的两点，点
是弦
的中点，过点
作轴的垂线交曲线
于点，
是曲线
在点处的切线的斜率，试比较
与
的大小．

盐城中学2013－2014高二年级期末考试

数学(理科)答题纸2014、1

一、填空题(14×5＝70分)

1、若
，则

2、2



3、

4、110



5、5

6、



7、

8、



9、0

10、6



11、3

12、



13、

14、





二、解答题（共90分）

①当
时，
，
，则
，所以
在
递增，则
，又因为
，所以
，，所以
；

②当
时，
，

则
，所以
在
递减，则
又因为
，所以
，所以

综上：当
时
；当
时
．