第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“若
,则
”的否命题是

A．若
,则
B．若
,则

C．若
,则
D．若
,则

2. 已知集合
，
，则

A.
B.

C.
D.

3. 若复数满足
(其中为虚数单位)，则复数为

A．
B．
C．
D．

4.tan300°+
的值是

A．1＋
B．－1－
　　C．1－
D．－1＋

5．函数
的单调递增区间是

A．
B．
C．
D．

6．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

7．
的内角
的对边分别为
，若
，
则等于

A．
B．2 C．
D．

8．函数
的零点所在区间为

A．
　　　　B．
　　　　　C．
　　　　D．

9.下列命题的说法错误的是

A．命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．对于命题

则

D．若
为假命题，则
均为假命题.

10．若
是定义在R上的偶函数，且满足
，则方程
在区间
内解的个数的最小值是

A．5　　　　 B．4　　　　 C．3　　　　 D．2

11．已知函数
，错误！未找到引用源。则下列结论正确的是

A．
，
有唯一零点 B．
，
的最小值为

C．
，
有极大值和极小值 D．
，
在上单调递减

12．在锐角三角形
中，
分别为内角
的对边，若
，给出下列命题：

①
；②
；③
. 其中正确的个数是

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置）

14．已知
的值为__________.

15．已知函数
(其中
,
,

)的部分图象如图所示,则函数
的解析式

是 .

16．定义
表示所有满足
的集合
组成的有序集合对
的个数．试探究
，并归纳推得
=_________.

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两

种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．

（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的
列联表．

（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．

甲班

乙班

合计



优秀









不优秀









合计









下面临界值表仅供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 参考公式：

18．（本小题满分12分）已知命题：关于的不等式
对一切
恒成立；命题：函数
在
上递减．若
为真，
为假，求实数的取值范围．

20．（本小题满分12分）已知函数

（1）若
在
上是增函数，求
的取值范围；

（2）若
在
处取得极值，且
时，
恒成立，求的取值范围．

21．已知：复数
,
,且
，其中、
为△ABC的内角，、
、为角、、
所对的边．

（1）求角的大小；

(2) 若
，求△ABC的面积．

22．已知函数

为自然对数的底数）．

（1）求曲线
在
处的切线方程；

（2）若是
的一个极值点，且点
，
满足条件：

.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：点，，
是三个不同的点，且构成直角三角形．

华安一中2013-2014学年下学期期末考试

高二（文科）数学试题参考答案

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）（1）

甲班

乙班

合计



优秀

6

14

20



不优秀

14

6

20



合计

20

20

40





…………………………………………6分

（2）

=
……………………………………10分

因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. …………………12分

18．（12分）

解：命题p为真，则有4a2－16＜0，解得－2＜a＜2；…………………… 3分

命题q为真，则有0＜4－2a＜1，解得＜a＜2. …………………… 3分

由“p∨q为真，p∧q为假”可知p和q满足：

p真q真、p假q真、p假q假． …………………………………………6分

而当p真q假时，应有即－2＜a≤，

取其补集得a≤－2，或a＞，………………………………………………10分

此即为当“p∨q为真，p∧q为假”时实数a的取值范围，故a∈(－∞，－2]∪……12分

19. （12分）解（1）由已知可得
. ……………………2分

所以

.…………6分

（2）



.

9分

因为
，则
，所以
.

故
的值域是
. ………………………………12分

20．（12分）

解：（1）
……………………………………1分

因
在
上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．……………………3分

设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max＝，∴b≥. …………6分

（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2. …………7分

x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可

因f′(x)＝3x2－x－2，

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.

∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，…………10分

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，

∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，……………………………………11分

所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．……………………………………12分

∵
∴
∴
,∵
∴
…………6分

(2) ∵
,由余弦定理得


,--④

由②得
-⑤ 由④⑤得
，∴
=
. ……………………………12分

22．（14分）

解：（1）
， ……………………………………2分

，又
， …………………………………………4分

所以曲线
在
处的切线方程为
，

即
． …………………………5分

（2）（ⅰ）对于
，定义域为
．

当
时，
，
，∴
；

当
时，
；

当
时，
，
，∴
， ………………8分

所以
存在唯一的极值点，∴
，则点为
． …………………9分

（ⅱ）若
，则
，
，

与条件
不符，从而得
．

同理可得
． ………………………………………………10分

若
，由

，此方程无实数解，

从而得
． ………………………………………………………11分