高二下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题（10×3=30分）

1. 已知集合M={x|－3 5}，则M
N=

A．{x|x<-5或x> -3} B．{x| -5 5}

2. i是虚数单位，复数

A．-2 +4i B．-2 -4i C．2+4i D．2 – 4i

3. 命题“
”的否定是

A．
B．

C．
D．

4.执行如图所示的程序框图，则输出的n为

A.3 B.4 C. 5 D.6

5. 已知圆的方程为
，设该圆过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为

A.
B.
C.
D.

6. 已知等差数列{an}的前n项和为 Sn ,满足a2013=S2013=2013,则a1 =

A. -2014 B. -2013 C. -2012 D. -2011

7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．
B．8
C．8－
D．8

8. 已知函数f(x)满足f(x)十f(-x) = 0，现将函数f(x)的图像按照向量平移，得到g(x）=2 + x + sin(x + 1)的图像，则向量=

A. (-1,-1) B. (-1,1) C. (-1，-2) D. (1,2)

9. 已知F1,F2分别是双曲线
（a>0,b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ΔABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
，则当k>0时下列关于函数y=f[f(x)]+1的零点个数为

A.1 B. 2 C. 3 D.4

二、填空题（5×4=20分）

11. 己知向量
,
满足|
|= 2,丨
丨=1, (
-2
)丄
,则|
+
|=_____.

12. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件
则该校招聘的教师人数最多是 名.

13. 已知
，若
恒成立，则实数的取值范围是 .

14. 向平面区域
.内随机投入一点，则该点落在曲线
下方的概率等于______.

15.右表给出一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且各行的公比都相等。记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN+)，则a83等于 .

三、解答题：(共50分)

16、（本小题9分）

某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来.

(1) 求该参赛者恰好连对一条的概率.

(2) 求该参赛者得分不低于6分的概率.

17、（本小题10分）

已知
.

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若
，求
的最小值及取得最小值时对应的的取值．

18、（本小题10分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=BC=1，CC1=2，AC1与平面BCC1B1所成角为30°，AB⊥平面BB1C1C。

（I）求证：BC⊥AC1；

（Ⅱ）求二面角C—AC1—B1的余弦值．

19、（本小题10分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过
的直线交椭圆
于
两点，且
的周长为
.过定点
的直线
与椭圆
交于
两点（点
在点
之间）.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
的斜率
，在轴上是否存在点
，使得以
、
为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.

20、（本小题11分）

已知函数

.

(Ⅰ)当
时，求曲线
在点
的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性.

2012-2013学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题：

16. 解：

记4名数学家分别为
，对应的著作分别为
，根据题意，不同的连线方法共对应下列24种情况：

其中恰好连对一条的情形有如下8种：

恰好连对两条的情形有如下6种：

全部连对的情形只有1种：

(1) 恰好连对1条的概率为
；

(2) 得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为
.

17. 解：

（Ⅰ）

，
最小正周期为.

由

，得

单调递增区间为
.

（Ⅱ）当
时，
，

在区间
单调递增，

，对应的的取值为0.

18. 解：

19. 解：

(Ⅰ)设椭圆的方程为
，离心率
，

的周长为

，

解得
，则
，

所以椭圆的方程为
.

（Ⅱ）直线
的方程为
，

由
，消去并整理得
（*）

，解得
，

设椭圆的弦
的中点为
，则“在轴上是否存在点
，使得以
、
为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点
，使得
”.

设
，
，由韦达定理得，

，

所以


，

，
，

所以，
，解得
.

，所以，

函数
在定义域
单调递增，
，

所以满足条件的点
存在，的取值范围为
.

20. 解：

函数
的定义域为
，
.

(Ⅰ) 当
时，
，
，

所以曲线
在点
的切线方程为
.

（Ⅱ）
，

（1）当
时，
，
在定义域为
上单调递增，

（3）当
时，令
，得
，
（舍去），

当变化时，
，
的变化情况如下：

此时，
在区间
单调递减，在区间
上单调递增.