江门市2014年普通高中高二调研测试

数 学（文）

本试卷共4页，20小题，满分150分，测试用时120分钟。不能使用计算器．

注意事项：

答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．

做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．

所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效．

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

独立性检验观察值计算公式
，
．

0.50

0.25

0.15

0.05

0.025

0.005





0.455

1.323

2.072

3.841

5.024

7.879



独立性检验临界值表：

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈是虚数单位，

A．
B．
C．
D．

⒉已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒊为了解甲、乙两批次产品中某微量元素的含量，采用随机抽样的方法从两批次产品中各抽取4件，测得它们所含微量元素（单位：毫克）如下表：

产品编号

1

2

3

4



甲批产品所含微量元素

890

890

850

950



乙批产品所含微量元素

900

850

910

920



根据抽样数据推测

A．甲批产品所含微量元素比较稳定 B．乙批产品所含微量元素比较稳定

C．两批产品所含微量元素一样稳定 D．以上判断都不对

⒋已知向量
，
，且
，则

A． B．
C．
D．

⒌下列命题中，正确的是

A．如果两条平行直线中的一条与平面平行，那么另一条也与平面平行

B．若两个平面垂直，则一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

C．若直线
与平面平行，则
与平面内的任意一条直线都没有公共点

D．垂直于同一平面的两个平面互相平行

⒍ 如图，直线
和圆
，当
从
开始在平面上绕点
按逆时针方向匀速转动（转动角不超过
）时，它扫过的圆内阴影部分的面积
是时间的函数，这个函数的图象大致是

⒎已知：
，：
，则是的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

⒏在三角形
中，
，
，
，则

A． B．
C． D．或

⒐已知双曲线
（
，
）的焦点为
、
，过
作垂直于轴的直线交双曲线于、，若
，则该双曲线的离心率

A．
B． C．
D．

⒑设
，若函数
在区间
有极值点，则取值范围为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．

㈠必做题（11～13题）

⒒已知命题：
，
。⑴命题是 命题（填“真”或“假”）；⑵写出命题的否定
： ．

⒓在等差数列
中，若
，则有
（其中
，且
）．

类比上述性质，在等比数列
中，若
，则有 ．

⒔若、满足约束条件
，则
的最大值为 ．

㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

⒕（坐标系与参数方程选做题）经过点
且倾斜角为
的直线
的参数方程为 ．

⒖（几何证明选讲选做题）如图1，圆内的两条弦
、

相交于圆内一点，若
，
，则

．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）

已知函数
，
．

⑴求
的最小正周期；

⑵若
，且是第一象限角，求
的值．

⒘（本小题满分14分）

如图2，
是长方体，
，
．

⑴求多面体
的体积；

⑵求证：平面
平面
．

⒙（本小题满分14分）

为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：

药物效果试验列联表

患病

未患病

总计



服用药

10

45

55



没服用药

20

30

50



总计

30

75

105



⑴能否以
的把握认为药物有效？为什么？

⑵用分层抽样方法在未患病的动物中随机抽取5只，服用药的动物应该抽取几只？

⑶在⑵所抽取的5只动物中任取2只，求恰有1只服用药的动物的概率．

⒚（本小题满分13分）

已知点
、
（
）都在直线
上．

⑴求证：
是等比数列；

⑵求数列
（
）的前项和
．

⒛（本小题满分13分）

已知椭圆的两个焦点分别是
、
，并且经过点
．

⑴求椭圆的标准方程；

⑵求
的平分线所在直线的方程．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
，是实常数）在
处取极大值．

⑴求的值；

⑵在曲线
上是否存在点
，使经过点
的切线与曲线
有且仅有一个公共点？若存在，求点
的坐标；若不存在，简要说明理由．

评分参考

一、选择题 ADBBC DCDAB

二、填空题 ⒒真（2分）；
，
（3分=1分+2分）

⒓
（其中
，且
）（等式4分，条件1分）

⒔ ⒕
（为参数），或
（为参数）等（每方程2分，其他1分） ⒖

三、解答题

⒗⑴
的最小正周期
……3分（列式2分，计算1分）

⑵由已知得
……4分

即
……6分，
……7分

……9分，
（
）……10分

因为是第一象限角，所以
……12分．

⒘⑴多面体
的体积
……2分

……4分

……6分

⑵
是长方体，
底面
……7分，
……9分

又因为
且
是长方体，所以
……10分

，所以
平面
……12分

因为
平面
，所以平面
平面
……14分．

⒙⑴
……3分（其中，不论是否写公式，正确代入1分，近似计算1分，比较1分）

所以，能以
的把握认为药物有效……4分

⑵应抽取服用药的动物
（只）……7分（列式2分，计算1分）

⑶由⑵知，已抽取没服用药的动物
（只）……8分

记所抽取的动物为
、
、
（服用药），
、
（没服用药），从中任取2只，不同的取法有
、
、
、
、
、
、
、
、
、
……10分，共10种……11分

恰有1只服用药的动物的取法有
、
、
、
、
、
……12分，共6种……13分

各种取法等可能，所以恰有1只服用药的动物的概率
……14分

⒚⑴依题意，
，
（
）……2分

所以
，
……3分

……4分

……5分，所以
是等比数列……6分

⑵由⑴得
……7分，
……8分

依题意，
……9分

……11分

两式相减得：
……12分

……13分．

⒛⑴依题意，设椭圆的标准方程为
（
）……1分

……2分，
……4分

所以
，
……5分

椭圆的标准方程为
……6分

⑵由图可知，
的平分线与轴相交，设交点为
……7分

（方法一）
，
，
……8分

依题意，
，

……10分

即
……11分

解得
……12分

角平分线
所在直线的方程为
，即
……13分

（方法二）
，
……8分

因为
是角平分线，所以
……10分

即
……11分

解得
……12分

角平分线
所在直线的方程为
，即
……13分

21．⑴
……1分

……2分，解得
或
……3分

时，由
得
或
，















+

0

－

0

+





↗

极大

↘

极小

↗



……4分，
在
处取得极小值，不符合题意……5分

时，由
得
或
，















+

0

－

0

+





↗

极大

↘

极小

↗



……6分，
在
处取得极大值，所以
……7分

⑵由⑴知
，

设
，切线方程为
……8分

设
，切线与曲线
有且仅有一个公共点，即函数
有且仅有一个零点……9分

……10分

若
，则
，
单调递增，有且仅有一个零点
……11分

若
，类似⑴讨论知，
在
单调递减，在
单调递增，所以
，从而
在
有一个零点，所以
在定义域有两个零点……12分

同理，若
，
在定义域有两个零点……13分

综上所述，存在唯一一点
，经过点
的切线与曲线
有且仅有一个公共点……14分