江门市2014年普通高中高二调研测试

数 学（理）

本试卷共4页，20小题，满分150分，测试用时120分钟。不能使用计算器．

注意事项：

答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．

做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．

所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效．

考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈是虚数单位，

A．
B．
C．
D．

⒉已知点
和向量
，点
在
平面上，使向量
，则点的坐标为

A．
B．
C．
D．

⒊
的展开式的第4项的系数为

A．
B．

C．
D．

⒋某几何体的三视图如图1所示（图中标记的数据

为2或4），则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

⒌“
”是“函数
的图象关于轴对称”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

⒍双曲线
（
，
）的顶点为
、
，焦点为
、
，若
、
是线段
的三等分点，则双曲线的离心率

A．
B． C．
D．

⒎设
，若函数
（
）有大于
的极值点，则

A．
B．
C．
D．

⒏设
（
）三边的长分别为
、
、
，
的面积为
，若
，
，
，
，
，则

A．
为递减数列 B．
为递增数列，
为递减数列

C．
为递增数列 D．
为递减数列，
为递增数列

二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分30分．

㈠必做题（9～13题）

⒐一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的

时间为5秒，绿灯的时间为40秒．一辆汽车到达

路口，看见红灯的概率是 ．

⒑已知命题：
，
．

则命题的否定
： ．

⒒执行如图2所示的程序框图，输出
的值为 ．

⒓经过圆
：
上一点
，

且与圆
相切的直线的方程是 ．

⒔若
，恒有
，则的取值范围

是 ．

㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

⒕（选做题）计算：
、
、
、……，根据计算结果找规律填空：
．

⒖（选做题）如图3，
是抛物线
上一点，是抛物线

的焦点，若
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）

如图4，海中有一小岛，周围海里内有暗礁．海轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东
．航行
海里到达处，望见岛在北偏东
．如果海轮继续由西向东航行，有没有触礁的危险？

⒘（本小题满分13分）

已知数列
的前项和
（
）．

⑴求
；

⑵求集合
（用列举法表示）．

⒙（本小题满分14分）

如图5，
是长方体，
，、分别是棱
、
上一点，
，经过、、三点的平面与棱
相交于
．

⑴求
；

⑵求二面角
的余弦值．

⒚（本小题满分13分）

为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：

药物效果试验列联表

患病

未患病

总计



服用药

10

45

55



没服用药

20

30

50



总计

30

75

105



⑴能否以
的把握认为药物有效？为什么？

⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验，求抽取的3只动物中服药动物数量
的分布列及其均值（即数学期望）．

参考公式与数据：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879





⒛（本小题满分14分）

点
与定点
的距离和它到直线
的距离之比是
．

⑴求点
的轨迹方程（写成标准方程形式）；

⑵设点
的轨迹与轴相交于
、
两点，是直线
上的动点，求
的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，其中
是常数．

⑴若曲线
在点
处的切线平行于轴，求的值；

⑵求函数
的极值；

⑶试讨论直线
（为自然对数的底数）与曲线
公共点的个数．

评分参考

一、选择题 DBCB ADAC

二、填空题 ⒐
⒑
（2分），
（3分，其中，等号1分）

⒒
⒓
⒔
（端点各2分，格式1分）

⒕
⒖

三、解答题

⒗（方法一）从小岛P向海轮的航线AB作垂线PC，垂足为C……1分

设PC长为海里，BC长为海里，则
……7分

消去变量得
……9分

解得
……11分

，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分

（方法二）从小岛P向海轮的航线AB作垂线PC，垂足为C……1分

在△PAB中，∠PAB=900-750=150，∠PBA=900+600=1500，从而

∠APB=1800-150-1500=150，∠PAB=∠APB……6分（其中，求∠APB给2分）

PB=AB=10……8分，PC=PB×sin300=5……11分（其中，列式给2分）

，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分

⒘⑴
时，
……1分

时，
……3分

……5分

时，
……6分

所以，
，
……7分

⑵（方法一）由⑴得
……8分

所以
……10分

因为
，所以
……12分

（或“
，
……12分”）

所求集合
……13分

（方法二）设
，
，则
……10分

由
，得
……11分

由
，
得
……12分，
，
，所以
……13分

⒙⑴
是长方体，面
面
……1分

在同一平面上，所以
……2分，
……3分

由已知得
和
都是等腰直角三角形，所以
……4分

⑵（方法一）在平面
内作
，垂足为
，连接
……5分

面
，所以
……6分

，所以
面
……7分

所以
，
是二面角
的平面角……8分

在
中，
，
……9分

由余弦定理得
……11分

，
……12分

所以
……13分，
……14分

（方法二）以为原点，
、
、
所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……5分，则平面
的一个法向量为
……6分

，
，
……7分

设平面
即平面
的一个法向量为
，则
……9分，即
……11分，
，不妨取
……12分

二面角
的余弦值
……14分

⒚⑴
……3分（其中，不论是否写公式，正确代入1分，近似计算1分，比较1分）

所以，能以
的把握认为药物有效……4分

⑵
服从超几何分布……5分

其中
，
，
，
，1，2，3……6分

，
，

，
……10分

分布列为

0

1

2

3















……11分

的均值（即数学期望）
……13分

⒛⑴设
是轨迹上任意一点……1分

依题意，
，即
……3分

两边平方得，
……4分

化简得点
的轨迹方程为
……6分（未化成标准方程扣1分）

⑵由⑴得
、
……7分

设直线
交轴于
，根据椭圆的对称性，不妨设
（
），则

（方法一）
，
……9分

……10分

……11分

，所以
……12分，所以
……13分

在区间
单调递增，所以
的最大值为
……14分

（方法二）
……8分

……10分，

，所以
……11分，
……12分

所以
……13分

在区间
单调递减，所以
的最大值为
……14分

21．⑴
……1分

依题意，
……2分，解得
……3分

⑵
，

时，
，
单调递减，无极值……4分

时，由
得
……5分

当
时
，当
时
……6分，所以
在
处取得极小值，极小值为
……7分

⑶记
，则直线
与曲线
公共点的个数即函数
零点的个数．

时，
，
单调递减，且值域为，有一个零点……8分

时，由
得
……9分

当
时
，当
时
……10分，所以